*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

3y+2x=6 kan skrivas om till y=-2x/3+2

Nu vet du vilken lutning linjen har. Och du vet även en punkt den går igenom. Då kan du skriva en ekvation för linjen. Sedan vet du även att dom positiva axlarna x=0 och y=0 är kateter i triangeln. Räkna ut värdet på x respektive y då linjen korsar dessa axlar så får du längden på kateterna och kan räkna ut arean.

Polynomekvation:
z^3+z^2-4z+6=0 har en rot z=1-i

Jag har lyckats lösa den genom prövning, men hur gör jag om jag vill lösa den med liggande stolen? Någon som orkar gå igenom det?

Tack på förhand,

Skulle behöva lite hjälp att tolka lite information: Från en punkt på en cirkel med radie R syns en korda under vinkel α. Väldigt osäker på hur detta ska tolkas, vilken vinkel åsyftas?

Reella koefficienter innebär att även z = 1 + i är en rot och detta innebär att polynomet är delbart med (z - (1 - i))(z - (1 + i)) = z² - 2z + 2.

Om vi vet att en rot är z=1-i, så vet vi att en faktor i polynomet är (z-(1-i)). Men vi vet även att koefficienterna i detta fall är reella. Det betyder att dom komplexa rötterna kommer upp i konjugerade par. Dvs om ena roten är 1-i, kommer det finnas en rot 1+i.

Alltså har vi två rötter och således två faktorer:
(z-(1-i))
(z-(1+i))

Vi kan nu multiplicera ihop dessa till en större faktor som vi utnyttjar vid polynomekvationen sedan för att få ut den tredje roten.

(z-(1-i))(z-(1+i))=z^2-2z+2



z+3
_______________________
z^3+z^2-4z+6 | z^2-2z+2
z^3-2z^2+2z
------------------
3z^2-6z+6
3z^2-6z+6
------------
0

Alltså vet vi att (z+3) även är en faktor och z=-3 ännu en rot.

Ursäkta mitt ohyggligt fula inlägg.

Ok, men hur får vi fram (z - (1 - i))(z - (1 + i))? Förstår inte detta skrivsättet.

Om c är en rot till ett polynom p(z) innehåller polynomet faktorn (z-c).
Det givna polynomet har roten c = 1+i och innehåller därmed faktorn (z-c) = (z - (1+i)).
Det givna polynomet har även roten c = 1-i och innehåller därmed faktorn (z-c) = (z - (1-i)).
Alltså innehåller polynomet produkten av dessa: (z - (1-i))(z - (1+i)).

Eftersom vi vet att z=1+i är en rot, betyder det att om vi sätter in 1+i istället för z en funktion med det givna polynomet så kommer funktionens värde bli 0. Det är därför vi även vet att det finns en faktor som är (z-(1+i)). Då vi sätter in z=1+i i denna faktor kommer hela funktionens värde bli 0. Och då vi vet att koefficienterna är reella kommer alltid dom komplexa lösningarna att finnas i konjugerande par.

Alltså har vi 1+i som är en rot, då kommer det konjunktion vara en lösning också, dvs 1-i. Precis samma resonemang som innan gäller då.

Sedan multiplicerar vi ihop dessa två faktorer till en enda och dividerar med det ursprungliga polynomet för att kunna faktorisera ut dessa två faktorer tillsammans. Då får vi kvar den sista faktorn i detta fallet som då ger oss sista roten.

Ni är bäst, tack som fasiken!

Låt P vara punkten på cirkeln och A, B kordans ändpunkter.
Den sökta vinkeln bör då vara α = APB.

Ja, så är det ju. Tack!

Tackar ödmjukast!