Citat:
Ursprungligen postat av futcher
I en cirkel med radien r är en triangel ABC inskriven. Sidan AC är längre än radien och lika lång som AB, bågen BC är lika lång som radien. Beräkna förhållande mellan sidorna BC och AC utan att införa några närmevärden.
http://imgur.com/3elMZ
Vet knappt vad som efterfrågas, men antar att det är BC/AC(sin A)
Kom ungefär så långt som BC-bågen= r, v*r=r, v(från röda punkten till C och B)=1rad.
Bågen BC = r
http://en.wikipedia.org/wiki/Circular_segment
c i bilden på wikipedia är BC för oss och vi får att:
BC=2*r*sin(Θ/2)
s i bilden är för oss lika med r och vi får, precis som du har kommit fram till också, att:
s=r=θr --> θ=1
BC=2*r*sin(1/2)
Det vi kan göra nu är att dela in triangeln i tre trianglar, tänk att du drar streck från hörnen in mot mitten av cirkeln.
Eftersom vi vet att θ=1 och att AB och AC är lika långa måste de två andra vinklarna i mitten vara lika stora.
2α+θ=2pi --> α=pi-1/2
Vi kan nu räkna ut längden AC med hjälp av cosinussatsen:
AC^2=r^2+r^2-2*r*r*cos(α)
AC^2=2r^2(1-cos(α))
AC=sqrt(2)*r*sqrt(1-cos(α))
BC/AC=2*r*sin(1/2)/(sqrt(2)*r*sqrt(1-cos(α)))=2*sin(1/2)/(sqrt(2)*sqrt(1-cos(pi-1/2)))
2=sqrt(2)*sqrt(2) --> sqrt(2)*sqrt(2)/sqrt(2)=sqrt(2) -->
sqrt(2)*sin(1/2)/sqrt(1-cos(pi-1/2))
-cos(x)=cos(pi-x) -->
sqrt(2)*sin(1/2)/sqrt(1+cos(1/2))
sin(1/2)*sqrt(2/(1+cos(1/2)))
1+cos(x)=2cos^2(x/2) -->
sin(1/2)*sqrt(2/(2cos^2(1/4))=sin(1/2)*1/cos(1/4)=sin(1/2)/cos(1/4)
sin(1/2)=sin(2*1/4) och
sin(2x)=2sin(x)cos(x) ger att:
sin(1/2)/cos(1/4)=sin(2*1/4)/cos(1/4)=2sin(1/4)*cos(1/4)/cos(1/4)=2sin(1/4)≈0.4948
Säkert fel någonstans... men men