Citat:
Ursprungligen postat av muminporr
Jag skulle behöva lite hjälp med att förstå följande:
Assume K ⊂ ℝ², m(K) = 0, and that K contains a line segment in every direction.
Let K0 := {(x,y) ∈ K : x ∈ ℚ or y ∈ ℚ} and take f := χ_K0.
Since K contains a segment in every direction on which K0\K are dense, there is a segment in each direction on which f is not Riemann integrable.
Vi kan börja med följande:
Lemma: Låt A ⊂ [a, b] vara en mängd med egenskapen att både A och [a, b] \ A är täta i [a, b]. Då är χ_A inte Riemann-integrerbar på något intervall.
Bevis: Övning. Jämför beviset att χ_ℚ inte är Riemann-integrerbar.
Antag nu att någon ger dig en riktning. Enligt premisserna finns det en sträcka L, i den riktningen, så att L ⊂ K. K_0 ∩ L är då en delmängd av L.
Det är nästan alltid så att K_0 ∩ L och L \ K_0 båda är täta i L. (Undantaget är om L är horisontell eller vertikal, och råkar ligga på en linje på formen {x = q} eller {y = q} för q ett rationellt tal). Skit i undantaget så länge. I så fall så är f|_L precis χ_{K_0 ∩ L}, och är enligt lemmat alltså inte Riemman-integrerbar. Så vi har visat, undataget ett specialfall, att det i varje riktning finns en sträcka på vilken f inte är Riemann-integrerbar.
Undantagsfallet kan fixas genom att man förflyttar K en irrationell sträcka i x-led och/eller y-led. Detaljer lämnas som övning.
Citat:
Ursprungligen postat av muminporr
Vidare,
D(f) = D(χ_K0) = δK0
Jag skulle behöva hjälp med att förstå det fetmarkerade.
Jag förstår inte notationen här. Vad är D och δ?
