*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

y = (1 + x^2) *e^(-7x)

y' = ?!

Ser att det är kedjeregeln som gäller, samt f(x)*g(x) = f(x)*g´(x) + f´(x)*g(x).
Jag har rört till det enormt för mig. Kan någon lösa och förklara pedagogiskt?

Du tänker så att man får

1/(x+1)(x+3)?

Då får man 1/2 ln(x+1) - 1/2 ln (x+3) ?

Hur blir det då när det går mellan 0 -> infinity?

Vet inte hur bra jag är på att förklara pedagogiskt, men kan göra ett försök.
För det första vill jag dock påpeka att det du skrev, "f(x)*g(x) = f(x)*g´(x) + f´(x)*g(x)" är felaktigt. Du har garanterat tänkt rätt, men skrivit fel, det är "bad notation". Du bör ha skrivit
[derivatan av f(x)*g(x)] = f(x)*g´(x) + f´(x)*g(x). Eller typ (f*g)' = f*g' + f'*g. Då gäller likhetstecknet.

Till saken:

y = (1 + x^2) *e^(-7x)
Följ den regeln du nämnde och sätt
f(x)=1+x^2
g(x)=e^(-7x)
Vilket ger att
f'(x)=2x
g'(x)= -7e^(-7x)

Således:

y'(x) = (1+x^2)*(-7e^(-7x)) + 2x*e^(-7x)

= (e^(-7x))*(2x - (7(1+x^2)))

F(x) = 1/2 ln(x+1) - 1/2 ln (x+3) = (1/2) ln((x+1)/(x+3))
F(0) = (1/2) ln (1/3) = - (1/2) ln 3
F(infinity) = (1/2) ln (1) = 0
Så integralen blir (1/2) ln 3.

Rent spontant känns det som A,D och E.

Eftersom kroppen är C, har varje polynom exakt lika många nollställen (räknat med multiplicitet) som graden är.
P(z) har grad 5 och har alltså exakt 5 nollställen. Därmed skall första rutan kryssas i, men inte den andra.

Q(z) har grad 4, varför (z+1)Q(z) har grad 5.
D(z) = P(z) - (z+1)Q(z) har högst grad 5, men kan ha lägre grad.
Det kan t.o.m. hända att P(z) = (z+1)Q(z). Då är D(z) = 0 och alla z ger en lösning. I detta fall har vi oändligt många lösningar.
Vi kan även ha P(z) = (z+1)Q(z) + C, där C ≠ 0. Graden är då 0 och lösningar saknas helt.
Om vi t.ex. har P(z) = z^5 + 1 och Q(z) = z^4 + 1 så blir D(z) = (z^5 + 1) - (z+1)(z^4 + 1) = -z^4 - z och har alltså grad 4.
Vi kan även få grad 3, 2 eller 1.
Eller grad 5: P(z) = 2z^5, Q(z) = z^4 ger D(z) = 2z^5 - (z+1)z^4 = z^5 - z^4.
Detta innebär att varken ruta 3 eller 4 skall kryssas i. Däremot skall ruta 5 kryssas i.

Jag skulle behöva lite hjälp med att förstå följande:


Assume K ⊂ ℝ², m(K) = 0, and that K contains a line segment in every direction.

Let K0 := {(x,y) ∈ K : x ∈ ℚ or y ∈ ℚ} and take f := χ_K0.

Since K contains a segment in every direction on which K0\K are dense, there is a segment in each direction on which f is not Riemann integrable.

Vidare,

D(f) = D(χ_K0) = δK0

Jag skulle behöva hjälp med att förstå det fetmarkerade.

http://i.imgur.com/8lb6s.jpg

Jag anser att läraren har missat en möjlighet (vilket är väldigt lätt att göra). Denna möjlighet gör att alternativet "Ekvationen P(z) - (z+1)Q(z) = 0 har som mest fem rötter, men kan ha färre" inte är korrekt.

Exempel:
P(z) = z^5 + z^4
Q(z) = z^4
P(z) - (z+1)Q(z) = (z^5 + z^4) - (z+1)z^4 = 0
I detta fall har ekvationen oändligt antal rötter.

Skulle gärna kontakta läraren angående detta.

Skall det inte vara K\K0?

Borde inte B vara rätt istället för A? För Polynomet av graden 5:x^5+x^4-x^3-x^2=0 har bara tre rötter: x=-1, x=0, x=1. Om man skriver om talet till x*x(x-1)(x+1)(x+1)=0 så kan man se att det är fem ställen där värdet på x gör att produkten blir noll, men man räknar väl inte samma rot två gånger?

Meningen "Antalet rötter räknas med multiplicitet" betyder just att rötterna räknas en gång för varje faktor. I ditt exempel har roten -1 multipliciteten 2, roten 0 multipliciteten 2, och roten +1 multipliciteten 1. Totala multipliciteten är 2+2+1 = 5. Räknat med multiplicitet är då antalet rötter 5.