Citat:
Ursprungligen postat av muminporr
Let X = Y = ℕ, M = N = P(ℕ), μ = v = counting emasure.Define
f(m,n) =
Vi börjar med ∫|f|d(μ x v).
Förslag 1
|f| = 1 i D_1 = {(x,x) : x ∈ ℕ} och D_2 = {(x, x-1) : x ∈ ℕ}
så beräkningen av integralen mynnar ut i
∫|f|d(μ x v) = μ x v (D_1 ∪ D_2)
vidare så är
μ x v (D_1 ∪ D_2) = inf{Σμ(A_j)v(B_j) : A_j x B_j ∈ P(ℕ) x P(ℕ), D_1 ∪ D_2 ⊂ ∪ A_j x B_j }
Det är "uppenbart" att μ x v (D_1 ∪ D_2) = ∞ och således har vi att∫|f|d(μ x v) = ∞.
f(m,n) =
{ 1 if m= nThen ∫|f|d(μ x v) = ∞, and ∫∫f dμdv and ∫∫f dμdv exists an are unequal.
-1 if m=n+1
0 otherwise }
Vi börjar med ∫|f|d(μ x v).
Förslag 1
|f| = 1 i D_1 = {(x,x) : x ∈ ℕ} och D_2 = {(x, x-1) : x ∈ ℕ}
så beräkningen av integralen mynnar ut i
∫|f|d(μ x v) = μ x v (D_1 ∪ D_2)
vidare så är
μ x v (D_1 ∪ D_2) = inf{Σμ(A_j)v(B_j) : A_j x B_j ∈ P(ℕ) x P(ℕ), D_1 ∪ D_2 ⊂ ∪ A_j x B_j }
Det är "uppenbart" att μ x v (D_1 ∪ D_2) = ∞ och således har vi att∫|f|d(μ x v) = ∞.
Detta tycker jag är okej. Uppgiften (tycker jag) handlar mindre om att verkligen "bevisa" något, utan mer om att själv bilda sig en uppfattning om varför villkoret att ∫|f|d(μ x v) < ∞ är viktigt i Fubinis sats, och mot den bakgrunden är det okej så länge man själv anser sig ha fått en ganska klar uppfattning om varför ∫|f|d(μ x v) = ∞ i det här fallet.
Citat:
Ursprungligen postat av muminporr
Förslag 2:
(X, M, μ) och (Y, N, v) är σ-finita. Vi har att E ∈ M ⊗ N (?) och
μ x v (D_1 ∪ D_2) = ∫v([D_1 ∪ D_2]_x)dμ(x) = ∫μ([D_1 ∪ D_2]^y)dv(y)
Där [D_1 ∪ D_2]_x = {y ∈ Y : (x,y) ∈ D_1 ∪ D_2} och [D_1 ∪ D_2]^y = {x ∈ X : (x,y) ∈ D_1 ∪ D_2}
Det är klart att v([D_1 ∪ D_2]_x) = μ([D_1 ∪ D_2]^y) = ∞, och v(Y) = μ(X) = ∞. Vi har att
μ x v (D_1 ∪ D_2) = ∞.
(X, M, μ) och (Y, N, v) är σ-finita. Vi har att E ∈ M ⊗ N (?) och
μ x v (D_1 ∪ D_2) = ∫v([D_1 ∪ D_2]_x)dμ(x) = ∫μ([D_1 ∪ D_2]^y)dv(y)
Där [D_1 ∪ D_2]_x = {y ∈ Y : (x,y) ∈ D_1 ∪ D_2} och [D_1 ∪ D_2]^y = {x ∈ X : (x,y) ∈ D_1 ∪ D_2}
Det är klart att v([D_1 ∪ D_2]_x) = μ([D_1 ∪ D_2]^y) = ∞, och v(Y) = μ(X) = ∞. Vi har att
μ x v (D_1 ∪ D_2) = ∞.
Det här tycker jag förvisso är korrekt, men lite mindre uppenbart så; hela poängen med uppgiften är ju att förklara att man behöver vara försiktig om man försöker tillämpa Fubinis sats blint. Därför tycker jag att det borde motiveras extra tydligt varför det fetmarkerade steget är okej. (Googla "Tonnelli's theorem".)
Citat:
Ursprungligen postat av muminporr
För ∫∫fdμdv
∫f(m,n)dμ = ∫_{D_1} f(m,n)dμ + ∫_{D_2} f(m,n)dμ = ∫_{D_1} f^{n}(m)dμ + ∫_{D_2} f^{n}(m)dμ = μ(D_1_n) - μ(D_2_n) = μ(ℕ) - μ(ℕ) = 0
∫f(m,n)dμ = ∫_{D_1} f(m,n)dμ + ∫_{D_2} f(m,n)dμ = ∫_{D_1} f^{n}(m)dμ + ∫_{D_2} f^{n}(m)dμ = μ(D_1_n) - μ(D_2_n) = μ(ℕ) - μ(ℕ) = 0
Jag kommer nedan anta att de naturliga talen börjar på 1. Slutresultatet kommer vara detsamma om de börjar från 0, så det gör inte så stor skillnad.
Jag tror att idén bakom detta är okej men notationen är konstig, och hursomhelst är μ(ℕ) - μ(ℕ) inte definierat, inte 0. Däremot funkar det för jag tror att du med D_1_n menar mängden
{m: (m, n) ∈ D_1}.
I så fall så är D_1_n = {m}, och alltså µ(D_1_n) = 1, och inte µ(ℕ). Samma med D_2_n, n = 1, ty då är D_2_n tom.
Däremot så tror jag det blir tydligare om man skippar D_1 och D_2 (problemet är så pass enkelt att jag tror att extra notation bara förvirrar, och istället funderar på funktionern f^n (m) = f(n, m). Vad är f^n, för n fixt alltså?
Det är enkelt att se att
f^n(m) = 1 om m = n, -1 om m = n - 1, 0 annars.
Därför är det så att funktionen f^n har värdet 1 på ett ställe, och -1 på ett ställe, förutsatt att n ≥ 1. I detta fall så är det alltså "uppenbart" att ∫f^n(m) dµ = 0. Om n = 1, så finns det inget m så att m = n - 1, och funktionen f^1 har alltså bara värdet 1 på ett ställe, och 0 överallt annars. Då blir ∫f^n(m) dµ = 1.
Totalt så är alltså
∫∫f(n, m) dµ dν = 1.
Jag tror att det är enklare att se för sig själv vad som försiggår om man ritar en tabell där man skriver in värdena på f(m, n) på plats (m, n) i tabellen. Sen försöker man att "summera alla värden i hela tabellen" genom att
1) summera varje rad för sig, och sen summera ihop alla radsummorna
2) summera varje kolumn för sig, och sen summera ihop alla kolumnsummorna
och övertyga sig själv om att svaren blir olika.
