*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

hej.. ja jo.. min parametrisering är korrekt, likaså funktionaldeterminanten..

så att 0<=v<=2pi är jag på det klara med..
problemet ligger i att bestämma integrationsgränserna för r.

man har ju i det aktuella fallet en elipps med halvaxlarna 1 och 2.. och frågan är vilken av dessa som ska bli r's övre integrationsgräns.

Är detta rätt metod, om jag nu skall göra det fullt analytiskt?

Funktionen f lyder:

f(t) = 1/ln(t)

Om f är kontinuerlig ∀x, över det slutna intervallet 1≤x≤e^x

F(x) = ∫[1,e^x] f(t) dt

Då existerar garanterat F'(x), detta enligt integralkalkylens huvudsats.

Bestämmer:

e^x = y

Bildar differenskvoten:

[F(y+Δx)-F(y)]/Δx = 1/Δx( ∫[1,(y+Δx)] f(t)dt - ∫[1,(y)] f(t)d ) ⇔
[F(y+Δx)-F(y)]/Δx = 1/Δx∫[y,(y+Δx)] f(t)dt

Enligt IMVS:

Finns ett cₓ y≤cₓ≤y+Δx sådan att
1/Δx∫[y,(y+Δx)] f(t)dt = (1/Δx)f(cₓ)(y+Δx-y) ⇔
1/Δx∫[y,(y+Δx)] f(t)dt = f(cₓ)

Då gäller:

[F(y+Δx)-F(y)]/Δx = f(cₓ)

Går i gräns:

lim [Δx→0] [F(y+Δx)-F(y)]/Δx = f(cₓ)
F'(y)·y' = f(cₓ)·y'
Där y' = e^x

Eftersom y≤cₓ≤y+Δx, och Δx→0, så f(cₓ)→f(y), ty f är kontinuerlig eftersom 1/ln(x) är deriverbar, och då även kontinuerlig.

∴ F'(y)·y' = f(y)·y'

Vi vet sedan innan att f gällde:

f(x) = 1/ln(x)

Då gäller:

f(y)·y' = y'/ln(y) ⇒
e^x/ln(e^x) = e^x/x

Svar:

Om F(x) = ∫[1,e^x] 1/ln(t) dt
Då är F'(x) = e^x/x

Klar.

Jag tror att det där är alla de rätta idéerna som behövs, men grammatiskt sett är jag inte säker på om det är helt korrekt; jag tror du rör ihop parametrarna till funktionerna lite.

När du skriver t.ex. F(y) så antar jag att du menar uttrycket ∫[1 till y] f(t) dt men strikt enligt din definition av F borde F(y) bli ∫[1 till e^y] f(t) dt, vilket jag inte tror att du menar.

Jag tror också det skulle bli tydligare om du separerade integralkalkylens huvudsats ut till ett eget resultat (nu känns det som att du bevisar det igen i ett specifikt fall, vilket är onödigt när du ju redan har bevisat det tidigare idag), införa funktionen

G(y) = ∫[1 till y] f(t) dt;

notera att F(x) = G(e^x); hänvisa till integralkalkylens huvudsats för att beräkna G'(y), och sen hänvisa till kedjeregeln för att beräkna derivatan av F.

Jag skulle alltså skriva lösningen något i stil med såhär:

Sats 1 (Integralkalkylens huvudsats): Låt f vara en kontinuerlig funktion från R -> R, och låt a ∈ R. För varje x i R, definiera

F(x) = ∫[t från a till x] f(t) dt.

Då är F deriverbar med F'(x) = f(x).

Bevis: Se tidigare.

Sats 2 (Kedjeregeln): Låt g, h vara funktioner R -> R, och låt f:R->R definieras genom

f(x) = g(h(x))

Antag också att h är deriverbar vid en punkt a, och att g är deriverbar vid g(a). Då är f deriverbar i a, med

f(a) = g'(h(a))h'(a).

Bevis: Övning.

Nu, låt

F(x) = ∫[1 till e^x] 1/ln(t) dt.

Vi söker F'(x).

Definiera G genom

G(y) = ∫[1 till y] 1/ln(t) dt.

Då är enligt Sats 1 G deriverbar med G(y) = 1/ln(y).

Men notera att F(x) = G(e^x), så då får vi enligt Sats 2 att F är deriverbar, med F'(x) = G'(e^x) * e^x (har använt också att derivatan av e^x är e^x), vilket ger

F'(x) = 1/ln(e^x) * e^x = e^x/x.

(Notera att detta egentligen inte funkar riktigt, eftersom satserna antar att funktioner är definierade på hela R, vilket våra funktioner inte är, men det är så att säga elementärt (genom att kolla på bevisen) att motsvarande satser också gäller så länge funktionerna är definierade på relevanta intervall. Det blir bara jobbigt att skriva ut allt ordentligt då. Generellt så är det ganska okej att slarva lite såhär tycker jag, så länge det är tydligt bevisen fungerar i vilket fall så att säga.)

Ja, jag tror det också, därför blir det så jävla krångligt. Min hjärna är inte riktigt kognitivt redo än för detta känner jag, men jag måste kämpa vidare. Jag känner att jag förstår hela resonemanget men kan inte riktigt uttrycka mig än.

Nä precis det är inte det jag menar.

Ja just det, ja det har du rätt i. Blev så fel när jag skulle uttrycka det bara.

Fint! Ja det hade nog varit bättre, som du säger att bevisa integralkalkylens huvudsats vid sidan om, om så krävs. Eller då bara hänvisa till satsen. jag snurrar runt det riktigt mycket där kände jag, fick nästan bruteforca mig igenom det.

Hur skall jag då uttrycka det i ord. Om exempelvis funktionen hade varit surjektiv över hela ℝ så hade det varit problemfritt? Eftersom det är så beviset lyder, men det är okey att då slarva, eftersom det räcker att det fungerar i en delmängd av ℝ, om man säger så?

Extreeemt tacksam för din hjälp, jag lär mig väldigt mycket!

Nja, surjektiv behöver den inte vara, bara definierad på hela R. I integralkalkylens huvudsats som jag formulerat den så måste ju f(t), som i det här fallet är 1/ln(t), vara definierad på hela R, vilket den inte är. Men av beviset för satsen så ser man att det funkar så länge man bara integrerar över intervall där R är definierad.

Mer formellt så kan man ju vara noggrannare och formulera satsen som

Sats: Låt I vara ett öppet intervall i R, och låt f: I -> R vara en kontinuerlig funktion. Låt a ∈ I, och definiera F:I->R genom

F(x) = ∫[a till x] f(t) dt

för alla x ∈ I. Då är, för alla x ∈ I, F deriverbar i x med F'(x) = f(x).

Och exakt samma bevis som du hade tidigare funkar för det här. I det här fallet var det väl inte så farligt, men om man ska sitta och formulera alla satser med tanke på att funktionerna ibland bara är definierade i vissa delar av R så blir det snabbt väldigt jobbigt, så många väljer istället att bara formulera satserna för funktioner definierade överallt, och hoppas att läsarna är smarta nog att lista ut när man får använda dom om man funktioner som är odefinierade ibland.

Då är jag med! Tack än en gång.

Det löste sig.

Jag har 3sinv + sqrt(3)cosv = 0

Vill ha vinkeln såklart, vad gör jag?

Edit: Kom på det, och för den som undrar flyttade jag över sqrt(3)cosv och delade sedan ner så att jag fick sqrt(3)tanv = -1 <=> tanv = -1/sqrt(3) ... osv..

Vad menas med "∈" i matematiken? Någon som kan ge något exempel?

Tack! SKa kolla närmare på det nu, återkommer om jag stöter på några problem.

"tillhör alla" är det väl? Tex X^2+2x+5 , x"e"R, tillhör alla reella tal.

Tillhör betyder det. Till exempel tillhör mängden av alla heltal, mycket användbar notation. Jag skall ge ett exempel nedan, och med en enkel trigonometrisk räkneuppgift.

Löser:

sin(x) = 0
arcsin(sin(x)) = arcsin(0)
x = 0+2πn

eller

π-x = 0+2πn
-x = -π+2πn
x = π+2πn

Slutsats:

x₁ = 2πn
x₂ = π+2πn
Vilket är ekvivalent med
x = πn

Svar:

x = πn
Där n∈ℤ

Där n∈ℤ, betyder då
Där n tillhör mängden av alla heltal.