Citat:
Låt \((x(t),y(t))=(2,t)\), \(0\le t\le 2\), vara en parameterisering av kurvan (en rät linje).
Vi kan välja en rät linje då integralens värde är oberoende av vägen.
Då \((x'(t),y'(t))=(0,1)\) har vi att
\[
\int_\gamma\!\frac{2x\,\mathrm dx+2y\,\mathrm dy}{x^2+y^2}
=\int_0^2\!\frac{2\cdot2\cdot0+2\cdot t\cdot1}{2^2+t^2}\,\mathrm dt
=\int_0^2\!\frac{2t}{4+t^2}\,\mathrm dt
=\bigl[\ln(|4+t^2|)\bigr]_0^2
=\ln(8)-\ln(4)=\ln(2).
\]
Vi kan välja en rät linje då integralens värde är oberoende av vägen.
Då \((x'(t),y'(t))=(0,1)\) har vi att
\[
\int_\gamma\!\frac{2x\,\mathrm dx+2y\,\mathrm dy}{x^2+y^2}
=\int_0^2\!\frac{2\cdot2\cdot0+2\cdot t\cdot1}{2^2+t^2}\,\mathrm dt
=\int_0^2\!\frac{2t}{4+t^2}\,\mathrm dt
=\bigl[\ln(|4+t^2|)\bigr]_0^2
=\ln(8)-\ln(4)=\ln(2).
\]
Ååh tack
bästa!
