Ställ era frågor om kvantmekanik

Ett relevant exempel är två fotoner med höger resp vänsterpolarisation, h resp v, med totalt spinn = 0. Om enpartikeltillståndet beskrivs av |h〉resp |v〉(normerade) så ges exemplets tvåpartikeltillstånd av

|Ψ〉= (|h〉|v〉- |v〉|h〉) / √2

där t ex
|h〉|v〉
är en sån där tensorprodukt som Velentr och Aside talar om, och som i detta fall beskriver tillståndet att foton 1 är högerpolariserad medan foton 2 är vänster. Tillståndet
|v〉|h〉
beskriver på samma sätt att foton 1 är vänster medan foton 2 är höger. (Att vi delar med √2 är bara för att behålla normeringen.)

|Ψ〉är ett s k superponerat tillstånd, vilket är typiskt i kvant. Vid en mätning av polarisering ger detta antingen |h〉|v〉eller |v〉|h〉, med samma sannolikhet, (±1/√2)²=1/2. Om man t ex mäter foton 1s polarisering till h, så vet man att tvåpartikeltillståndet måste vara
|h〉|v〉
och inte
|v〉|h〉.

Detta i sig kan verka väldigt INTE konstigt alls. Om man skickar iväg en sko utan att titta efter vilken det är, och om man senare upptäcker att man har vänsterskon kvar, så vet man ju att det man skickade iväg var en högersko. Men enl ovanstående kvantbeskrivning kommer båda fotonerna att samtidigt vara både höger och vänster ända tills man mäter! Det var precis denna märkliga konsekvens av kvant som Einstein, Podolsky och Rosen upptäckte och skrev om i sin berömda EPR-artikel.

Inte heller beskriver det ovanstående BARA en okunskap om vilka heliciteter som de båda fotonerna egentligen har (som i skoexemplet). Den typen av förklaring kallas för dolda variabler, vilket Bell visade skulle ge mätbara skillnader jämfört med kvant, och där bl a Aspect et al sen visade att det är kvant som stämmer med experiment.

Notera också att inget av detta har det minsta med maskhål och rumtidtunnlar att göra.

Ja tensorprodukten av två vektorrum, V & W, har i allmänhet högre dimension är vektorrummet V x W.

Som sagt, tyvärr har jag inte LaTeX, men kika här för mer resonemang:
https://math.stackexchange.com/questions/2752353/can-the-sum-of-two-tensor-products-be-written-as-a-single-tensor-product .

Om det sammansatta systemet representeras av ett icke-enkelt tillstånd, så kan vi inte mäta en partikel utan att påverka den andra.

En utmärkt bok i ämnet som är populärvetenskaplig är 'Paradoxen som försvann' av David Lindley (om jag minns namnet rätt).
Han tar just det återkommande exemplet med två vantar i varsitt paket.

Då var det inga konstigheter, utan ett sätt att uttrycka en definition!

Kan tilläggas att detta också är extremt användbart i relativitetsteorin, där t ex krökningstensorn är ett element i V×V×V×V. Fast i detta fall är det inte någon komponent som försvinner vid mätning.

Utan linjär algebra kommer man inte särskilt långt i fysik. Just därför brukar ett par rejäla algebrakurser också vara bland det första man läser på alla fysiktunga utbildningar.

Kanske inte, men det har att göra med att information är icke-lokal.
Det är inte en oproblematiskt slutsats att stanna vid.

Den obekante med Diracnotationer behöver inte tro det är svårare än det som sägs då Ket-notationen |x> i denna kontexten endast betyder "tillstånd", där dess övriga användning är överflödig.
Ordet "vänster" duger gott.
Den något mer bekante med Diracnotationer behöver inte heller tro att de missförstått någonting.
Polarisation eller spinn är ingen vågfunktion utan en operatör, men vanligen definieras vektorn som |H> <H| - |V> <V| som förväntas observeras efter |H|^2 - |V|^2.
Därutöver så har inte heller |Ψ> superponerat tillstånd på det som observerats eftersom det är vad operationen av spinnvektorn på <Ψ| lett till, då <Ψ|S|Ψ>.

Vad tror du det har att göra med då?

Visst kan jag utveckla, men om inte TS kan linjär algebra så är ju steg ett att börja lära ut den...vilket känns som slöseri med tid då det finns gott om böcker och online-kurser i ämnet. Se dock nedan för ett exempel på fenomenet.


Du har tolkat mig rätt! Man kan uttrycka produkten som en matris men man kan lika gärna uttrycka den som en vektor (rad eller kolumn spelar ingen roll). De koordinatoberoende utsagorna är alla formulerade i termer av produktrummets linjära struktur och dess inre produkt.

Med det sagt håller jag med dig om att det kan vara instruktivt att arbeta basberoende, så vi tar väl ett exempel. Spin-tillståndsrummet för en elektron är en komplex projektiv linje (aka en Riemannsfär). Jag använder homogena koordinater och skriver dem [a : b] där a och b är komplexa tal och där bara deras förhållande spelar roll (jag struntar alltså i normalisering, för det kan man göra på slutet om man har lust). Så utan normalisering är tillståndsrummet C^2, vilket är redundant.

Om vi har två elektroner är deras gemensamma tillståndsrum projektiviseringen av C^2 tensor C^2, alltså projektiviseringen av C^4, alltså ett komplext projektivt rum av (komplex) dimension tre.

Jag kan välja min bas för produktrummet så att produkten av [a : b] och [c : d] är [ac : ad : bc : bd]. (Andra val är förstås möjliga.) Nu är alltså ett allmänt tillstånd för det sammansatta systemet en vektor av formen [A : B : C : D]. De separabla, alltså ej hoptrasslade, tillstånden är de av formen [ac : ad : bc : bd]. (Här betecknar ab produkten av de komplexa talen a och b.)

Man kan ganska lätt övertyga sig om att om [A : B : C : D] = [ac : ad : bc : bd] så är AD = BC, vilket är villkoret för att tillståndet ska vara separabelt. Så tillståndet [1 : 1 : 1 : 0] är inte separabelt: det finns inga komplexa tal a, b, c, d sådana att ac = 1, ad = 1, bc = 1 och bd = 0.

Jag medger att det här inte säger något om den fysikaliska relevansen av kvanttrassel, men jag vidhåller samtidigt att det här är vad kvanttrassel är: ett visst matematiskt sakförhållande.

I övrigt vill jag upprepa vad andra har sagt: Susskinds föreläsningar är bra, han har en hel termin bara om kvanttrassel. Att börja dra in ER = EPR är olämpligt eftersom det är en spekulativ idé om den underliggande mekanismen. Först bör man förstå hur fenomenet ser ut inom ramen för etablerad vetenskap. Lägg dessutom märke till att man inte behöver tala om olika tolkningar, heller! Köpenhamnbusar, Bohm-anhängare och många världar-ivrare använder samma matematik. Man kan alltså gärna låta bli att propagera för sin egen tolkning...

Nja.. Det är spinn-operatorn (för en partikel) som kan skrivas som
S = |H> <H| - |V> <V|
där |H> och |V> är ortonormerade med egenvärdena 1 resp -1.
Rummet av operatorer är iofs också ett vektorrum, men det ska likväl inte förväxlas med tillståndsrummet.

Med vågfunktionen brukar man oftast avse
Ψ(x) = <x|Ψ>
där |x> är ett egentillstånd till positionsoperatorn, men egentligen kan man använda egentillstånden till vilken fysikalisk operator som helst, inkl spinnoperatorn.

Visst är maskhål och sånt spännande grejer, men de behövs INTE för att förklara kvanttrassel och de användes INTE av EPR.

Betr Susskind tror jag att boken om kvant är mycket bättre om man vill förstå, dvs Quantum Mechanics (The Theoretical Minimum). Den förutsätter att man iaf kan lite om matrisräkning, men givet det så kan man faktiskt lära sig en hel del om matten och därmed även om fysiken. Ett lite ovanligt grepp jmf m andra elementära böcker om kvant, är att den börjar med spinn. Vilket jag faktiskt tror är bra för att direkt gå i clinch med sånt som är speciellt i kvant jmf m klassisk fysik. Det är också väldigt bra om man först går igenom deras Classical Mechanics (The Theoretical Minimum) först för att få en bra grund om t ex hamiltonianer. Den som verkligen vill förstå RÄKNAR igenom ALLT i böckerna.

Tråd om kvantsammanflätning sammanfogad till samlingstråd.

/Moderator

Tävlar vi om att beskriva samma sak så tekniskt som möjligt eller?


Sammanflätning ges av tensorprodukten av egenvektorerna i ett Hilbertrum som verkar på skalärprodukten från ett annat Hilbertrum.

Nja. En skillnad är ju att Velentr kan de här grejerna, i deras nitty-gritty details, medan du ju aldrig själv t ex har löst Schrödingerekvationen pga otillräckliga mattekunskaper. Men överraska gärna med en bra sammanfattning om hur spinnoperatorn och spinorer hänger ihop med rotationsgruppen i R³.

Det är inte sant. Enbart tensorprodukt räcker inte. Det måste vara en summa av linjärt oberoende tensorprodukter (med i allmänhet komplexa koefficienter) för att det ska bli någon sammanflätning.

Ett Hilbertrum H har inte i sig några egenvektorer, det är det operatorer som har. Fysikaliska operatorer F, dvs Hermitska sådana
har (a) reella egenvärden och (b) egenvektorer som kan fungera som en vektorbas i H.

Och var får du det där med skalärprodukt ifrån?

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hermitian_adjoint
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Riesz_representation_theorem

Att lösa ekvationer är inte att förstå.

Gällande spinn och Schrödinger.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dirac_spinor