Citat:
Ursprungligen postat av Cabron
Kort och gott: vad är tunnling?
Tänk att du har två murar som är 3 meter höga. Mellan dessa högar studsar en boll (utan energiförluster) till en höjd av 2 meter. I klassisk fysik är vi då säkra på att bollen aldrig kommer att kunna hoppa över (eller genom) murarna och försvinna. Så är inte fallet i kvantmekanik.
I kvantmekaniken skulle bollen beskrivas av en vågfunktion med en viss utsträckning i alla riktningar. Kvadraten av vågfunktionens amplitud i en punkt ger sannolikheten (egentligen sannolikhetstätheten) för att vi ska hitta den i just den punkten. Om du nu ställer upp ekvationerna för bollen mellan murarna så får du en fin "våglösning" som beskriver bollens möjliga lägen men denna lösning kommer inte att vara 0 utanför murarna! Istället kommer den avta exponentiellt genom muren och på andra sidan muren kommer vågfunktionen vara skild från noll. Med andra ord kommer en kvantmekanik boll "läcka ut" åt sidorna, den kommer att tunnla genom murarna.
För makroskopiska objekt är vågfunktionens värde enormt litet på andra sidan muren och tunnlingen kommer inte att märkas, men för mikroskopiska objekt som en elektron "fast" i en atom är det en tydlig effekt.
Ibland uttrycks tunnling genom osäkerhetsrelationen (egentligen inte alls en osäkerhetsrelation men det kan vi skita i nu) som säger att osäkerheten i energi gånger osäkerheten i tid är större än en viss konstant. Man kan då säga att tunnling är ett fenomen då en partikel lånar energi under en kort tid för att hoppa över potentialbarriären, på ett sådant sätt att den lånade energin under den givna tiden uppfyller osäkerhetsrelationen.
Jag gav ett matematiskt exempel i en tidigare post och klistrar in nedan.
----------------------------
Vi kan ju ta det nästan enklast möjliga exemplet: en fri partikel med energi E inkommer mot en barriär med höjden U. Jag tar det i ganska snabba steg för att det inte ska bli för långt.
Schrödingerekvationen beskriver hur en partikels vågfunktion psi varierar i rummet och tiden. Den fysikaliskt intressanta storheten är kvadraten av absolutbeloppet av vågfunktionen |psi(x)|^2 som anger sannolikheten att finna partikeln i position x. I detta fall antar vi att vi inte har något tidsberoende och då blir schrödingerekvationen i en dimension
-hbar^2/(2m)*psi'' + U*psi = E*psi
där hbar =1.05*10^(-34) Js är Plancks konstant och '' betecknar andraderivatan (m a p positionsvariabeln x). Antag att barriären finns mellan x=0 och x=w. För x < 0 och x > w är U = 0 och för x < 0 får vi
-hbar^2/(2m)*psi'' = E*psi
med lösning
psi1 = A*exp(i*k1*x) + B*exp(-i*k1*x)
där
k1 = sqrt(2*m*E)/hbar. Lösningarna utgörs av plana vågor som färdas åt höger, A*exp(i*k1*x), och vänster, B*exp(-i*k1*x). Dessa är alltså inkommande strålning med intensitet |A|^2 och reflekterad strålning med intensitet |B|^2.
Eftersom U > E blir schrödingerekvationen inuti barriären
hbar^2/(2m)*psi'' = (U-E)*psi
med lösningen
psi2 = C*exp(k2*x) + D*exp(-k2*x).
där k2 = sqrt(2*m*(U-E))/hbar.
Dessa är inte längre oscillerande vågliknande lösningar utan exponentiellt växande/avtagande.
På höger sida om barriären, x>w, får vi en utgående stråle
psi3 = E*exp(i*k1*x).
Hur ska vi nu finna amplituderna A, B, C, D, E? Jo dessa lösningar måste 'passa ihop' vid gränsytorna x=0 och x=w. Vi måste ha
psi1(0) = psi2(0)
psi1'(0) = psi2'(0)
och
psi2(w) = psi3(w)
psi2'(w) = psi2'(w).
Stoppar vi in våra lösningar fås
A+B = C+D
i*k1*(A-B) = k2*(C-D)
C*exp(k2*w)+D*exp(-k2*w) = E*exp(i*k1*w)
k2*(C*exp(k2*w)-D*exp(-k2*w)) = i*k1*E*exp(i*k1*w).
Det vi är intresserade är kvoten av transmitterad amplitud |E|^2 och inkommande amplitud |A|^2. Delar man alla ekvationer med A så kan man lösa för E/A (eftersom man har fyra ekvationer och fyra obekanta) och till slut transmissionsamplituden T = |E|^2/|A|^2 som kan skrivas
T = (2*k1*k2)/((k1^2+k2^2)^2*sinh^2(k2*w)+(2*k1*k2)^2).
och om barriären är ganska bred så att k2*w>>1 kan vi förenkla detta till
T = (4*k1*k2/(k1^2+k2^2))^2*exp(-2*k2*w) = 16*(E*(U-E)/U)*exp(-2*k2*w)
Låt oss nu ta lite värden som är rimliga. Låt U = 5 eV (typisk energibarriären för en elektron att ta sig lös ur en metall), E = k_B*T = 0.01 eV en typisk termisk energi vid halvlåga temperaturer, w = 1 nm vilket är ett typiskt avstånd från provet till 'läshuvud' i ett skanningstunnlingsmikroskop (STM), och m = 9.1*10^(-31) kg vilket är massan för en elektron. Med dessa värden är U>>E så att vi får
T = 16*E/U*exp(-2*k2*w) = 3*10^(-12)
alltså så är det en försvinnande liten del som tunnlar igenom barriären. Notera dock att om vi ändrar avståndet till w = 0.9 nm så blir tunnelsannolikheten 10 ggr större! Denna känslighet utnyttjas i STM. I STM lägger man dock en spänning V över 'barriären' vilket ger en energi ~ E = e*V som 'driver' tunnlingen. Med V = 3 V och E=eV fås T = 1*10^-6 vid w=1 nm och T = 0.003 vid w=0.5 nm. Alltså är det inte alls omöjligt att få en ganska 'stor' tunnlingsström.
Tänk dig nu att du har en studboll med massa m = 100 g som du kastar från höjden 1 m i riktning mot en vägg. Den har då ungefärlig lägesenergin E = 10*0.1*1 J = 1 J. Vad är sannolikheten att den ska kunna hoppa över en vägg med höjden 3 m och bredden w = 10 cm? Man får U = 10*0.1*3 J = 2 J. Om studsbollen kan behandlas som en stor kvantpartikel blir den exponentiella faktorn
exp(-2*0.1*6*10^33) < 10^(-10^32)
vilket är så otroligt litet att det aldrig kommer att hända.
Edit: Givetvis är den uträknade formlen egentligen inte tillämpbar i dessa fall eftersom det handlar om en infallande partikel i vakuum mot en barriär. Det är förstås inte samma sak som en elektron i en metall och definitivt inte samma sak som en studsboll. Alltså bör man ta de numeriska värdena med en nypa salt. Vad som är ganska allmänt däremot är det exponentiella beroendet
T ~ exp( - konstant*sqrt(energibarriär)*längd)