*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Problemet lyder:

Om a och b är positiva heltal, finns det då en lösning till ekvationen? (Går det alltså att hitta positiva heltal a och b så att likheten ovan blir sann?)

Ekvationen är: a(a² - 1) = 2b²

Jag har försökt rita upp dem i graf och har då kommit fram till att de kan inte vara samma tal, men jag kommer inte på hur jag ska lösa den.

Jag har också tänkt på att båda sidorna kommer att ge jämna tal

Tacksam för svar, jag är inte själv så bra på matte

Testa och se vad som händer om a är udda resp jämnt tal

Äsch glöm allt jag skrev, det finns naturligtvis dubbletter i min lösning i fallet med 2 A

"a udda ger att a^2 -1 är jämnt och då är a ggr detta udda."

a = 2 k + 1, k=0,1,…
a (a^2 - 1) // Expand
4 k + 12 k^2 + 8 k^3 = Jämnt.

I grunden: jämnt*udda=jämnt.

Tack, jag började ifrågasätta mitt eget tänkande, trots att natten inte är särskilt långt gången.

edit: 'delete' (feltänk)

Vet ej om denna kan hjälpa dig.
PDF

Den tar upp produkten av påföljande heltal vilket a(a^2-1)=a(a-1)(a+1)=(a-1)a(a+1) är. Vet ej om den kan appliceras på 2*"square".

Argh, inte min dag igår missade på både detta och skillnaden på ord och unika ord.

Tror man kan tänka så här:
a måste vara större än 1 och du har redan konstaterat att a skiljt från b. Skriver man om uttrycket fås:
2 = (a/b)((a^2/b)-1/b)
Kan a/b vara ett heltal? Då och b ej får vara lika så måste a vara större än b. Då måste a/b vara minst 2. Men detta leder till:
(a/b)((a^2/b)-1/b) > 2(2*2-1/b) > 2. Alltså funkar inte a/b som ett heltal.

I så fall innehåller b något primtal(skiljt från ett) som ej finns i a, kalla det talet q. Man kan skriva om ursprungsekvationen som:
2 = a((a+1)/b)((a-1)/b)
Här kan a+1 eller a-1 bli lika med q, men inte båda. Detta leder till att vänsterledet kommer ha (minst) en faktor q i nämnaren som inte "försvinner". Alltså kan vänsterledet inte bli lika med 2.

Alltså funkar inte ekvationen med a och b som heltal.

Dubbelkolla detta, jag kan mycket väl ha missat något.

Kom precis på att det inte var en ok formulering på slutet. Det stämmer att om man primtalsfaktoriserar a och b så kommer b innehålla ngt primtal med en högre exponent än vad a kan ha för samma primtal. Det är dock bättre att titta på
((a^2-1)/b)(a/b) = 2
a^2-1 kan öka på exponenten för det aktuella primtalet med ett för täljaren, men då uttrycket innehåller b^2(totalt i nämnaren) så kommer det finnas detta primtal upphöjt i ett(eller mer) i nämnaren. Då kan vänsterledet inte bli ett heltal. Men det skulle ju bli 2.

Visa att 5^(2n+1) − 3^(2n+1) − 2^(2n+1) är delbart med 30, för alla n ≥ 0.

Jag antar att jag ska visa detta med induktion. Så här långt har jag kommit:

1) Jag har visat att det stämmer för n=0.

2) Jag gör ett antagande att det stämmer för n=p≥0. Mitt antagande är alltså :
5^(2p+1) − 3^(2p+1) − 2^(2p+1) = 30k, (k, icke neg heltal)

3) Nu vill jag visa att det stämmer för n=p+1. Då får jag att
5^(2p+3) − 3^(2p+3) − 2^(2p+3)
ska vara delbart med 30.

Jag har kört fast helt. Jag har använd 30k från mitt antagande med det hjälper mig inte. Vore grymt tacksam om någon kan hjälpa mig på vägen!

Utan att ha täkt igenom allt hela vägen, så hoppas jag kunna ge dig lite hjälp på vägen. För varje steg du ökar n får du två potenser av två, tre och fem i ditt uttryck. Så ditt

5^(2p+3) − 3^(2p+3) − 2^(2p+3)

är det samma som

25*5^(2p+1) − 9*3^(2p+1) − 4*2^(2p+1)

Observera att det nu tillkommit en kvadrat som koefficient framför alla termer, medan potensen minskat med två. Och man kan fortsätta reducera potenserna, så att uttrycket blir

125*5^(2p) − 27*3^(2p) − 8*2^(2p)


Slutligen tål det att påpekas att 30 = 2 * 3 * 5. Dvs just de konstanter du har i ursprungliga uttrycket.