Citat:
För det första så ska du ju beräkna normen, då är ju
∫ n²x²/(1 + n²x²)² dx = ∫ x/2 · 2n²x /(1 + n²x²)² dx = x/2 · (-1)/(1 + n²x²) + 1/2 ∫ dx/(1 + n²x²) = -x/(2 + 2n²x²) + 1/(2n) arctan(nx) + C.
Så normerna blir alltså
|f_n|_[0, 1] = √(arctan(n)/(2n) - 1/(2 + 2n²)), samt
|f_n|_[1, ∞] = √(π/(4n) - arctan(n)/(2n) + 1/(2 + 2n²))
Värt att notera här är att båda dessa två kommer gå mot noll då n→∞.
En funktionsföljd f_n går mot en funktion f likformig på ett intervall I om lim_{n→∞} sup_I |f_n(x) - f(x)| = 0. Detta innebär alltså att bara n är tillräckligt stort så kommer f_n vara nära f på hela intervallet I. Man kan jämföra detta med punktvis konvergens där man bara har att lim_{n→∞} |f_n(x) - f(x)| = 0 för alla x i intervallet I. Här behöver det inte vara så att f_n är nära f på hela intervallet bara n är tillräckligt stort, men ändå går den punktvis mot f.
Så i ditt fall så ska du alltså visa att maximum av f_n på de givna intervallet går mot 0 då n → ∞. Om det inte gör det så har man inte likformig konvergens. Du kommer bara ha att på ena av dessa intervall så konvergerar funktionsföljden likformigt, men i båda fallen är det punktvis konvergens. Så uppgiften blir alltså ett exempel där man har punktvis konvergens men inte likformig, man har även konvergens i L²-normen men inte likformig konvergens.
)