*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

en andragradsekvation har en komplex rot z= 3 + 2i

bestäm ekvationen.

vet inte hur jag ska börja, jag vet att jag har två rötter dvs 3+2i och 3-2i

När du har rötterna z₁ och z₂ så är det bara att multiplicera ihop (z-z₁)(z-z₂) för att få ut ekvationen.

I ditt fall multiplicerar du alltså ihop (z - 3 - 2i)(z - 3 + 2i) så får du ekvationen du söker.

Skriv en potensekvation av formeln z^n = a + bi som har 3 rötter varav en är talet 1 + 2i.

Mitt förslag:

Eftersom det är 3 rötter så borde z^n = z^3

z^3 = r^3 (cos3v + isin3v)

1 + 2i = (√5) (cos63,4 + isin63,4)

r^3 (cos3v + isin3v) = (√5)(cos63,4 + isin63,4)

r^3 = (√5)

(cos3v + isin3v) = (cos63,4 + isin63,4)

r = (√5)^(1/3)

3v = 63,4 + n * 360

v = 21,1 + n * 120

z^3 = (√5)^(1/3) (cos(21,1 + n * 120) + isin(21,1 + n * 120))
n = 0,1,2

Nu blir ju inte mitt svar på formeln z^n = a + bi.

Det känns ändå som att jag gör något fel

Ja, hur?

Det enklaste sättet är att multiplicera ihop (x - 1)² och sedan dividera varje term för sig med √x = x^(1/2). Då får du ju tre polynomtermer som du kan bestämma primitiv funktion till var för sig.

Det stämmer att du bör sätta n = 3 för att få tre rötter.

Det enklaste sättet att bestämma högerledet är dock att helt enkelt beräkna (1 + 2i)³, och lämpligen att göra detta genom att utveckla kuben snarare än att konvertera till polär form och tillbaka.

Du menar att jag ska utveckla kvadraten och finna primitiv till varje term?

Ja, men dividera varje term i den utvecklade kvadraten med √x = x^(1/2) innan du bestämmer primitiv funktion. Annars blir det fel.

Ja, precis, tack för hjälpen.

fast detta gälller bara om koefficienterna är reella, det framgick inte

Bestam den ortogonala projektionen av vektorn u = (3,−1, 2) pa skarningslinjen mellan planen
2x+y−2y=0 och 2x+4y+z=0. (ON-system).


jag sätter planen och gauss eliminera. får

2 0 -3 = 0
0 1 1 = 0

sätter z=t. får då

x=3/2t
y=-t

Facit säger: Satt x3 = t. Vi far linjens ekvation (x, y, z) = t(3,−2, 2).

Hur får dom det?

testade genom att fortsätta gaussningen med att eliminera z/t. och får då

2x-3t=0
y+t=0 och eliminerar jag t så får jag

2x+3y=0 och då hittar jag ngt värde på x och y som uppfyller ekvationen, x=3 och y=-2.
och sen y+t=0 så får jag 2=t. Kontrollerar genom att sätta in dom i planets ekvation och det stämmer på bägge.

alltsåå t(3,−2, 2). Är det här slumprätt?

När du har kommit fram till ditt resultat så får du ju

x = 3/2 t
y = -t
z = t.

Därför får du linjen (x, y, z) = t(3/2, -1, 1), har kan man tycka att det blir bättre att jobba med heltal istället för rationella tal så alltså kan man göra "variabelbytet" t → 2t vilket fortfarande gör att vi har samma linjen. Så då får man alltså (x, y, z) = 2t(3/2, -1, 1) = t(3, -2, 2).