*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Riktningsderivatan av f i riktningen n (normerad vektor) i punkten x definieras som
∇_n f(x) = lim_{t→0} (f(x+tn) - f(x))/t.

Låt oss använda en icke-normerad vektor v i stället.
Vi inför en normerad vektor n = v/|v| och kan då skriva
∇_v f(x) = lim_{t→0} (f(x+tv) - f(x))/t
= lim_{t→0} (f(x+t|v|n) - f(x))/t
= lim_{t→0} |v| (f(x+t|v|n) - f(x))/(|v|t)
= { sätt s = |v|t }
= lim_{s→0} |v| (f(x+sn) - f(x))/s
= |v| ∇_n f(x)

Vi får alltså inte riktningsderivatan utan en faktor |v| gånger riktningsderivatan.

Kolla differenserna så ser du nog ett mönster.

---

Uppgiften ska visst lösas med induktion, så jag antar att det inte gör något om jag ger en lösning på ett annat sätt..

Under förutsättning att du räknat rätt så är ökningarna av antalet diagonaler då man ökar antalet hörn från fyra 3, 4 och 5, så det ser ju ut som ett enkelt linjärt mönster. Sedan får du undersöka om du kan visa att det gäller med induktion.

Jag ska beräkna integralen {{x^2*dxdy där D är parallellogrammen med hörn i (1,1), (3,2), (4,5) och (2,4). Men hur kan jag ta reda på gränserna utifrån parallellogrammet? Har ritat upp men vet inte hur jag kan ta fram gränserna för integralen, det är det svåra här.

Ta fram ekvationerna för de fyra räta linjerna som utgör parallellogrammets kanter så bör du utifrån det kunna se vilka variabelbyten du behöver göra för att få ett integrationsområde som är rektangulärt i de nya variablerna.

Nån som kan hjälpa?
Låt C vara en n*n matris, så att summan av alla element i varje rad är lika med t. Visa att t är ett egenvärde av C.

Såvitt jag kan se visar man detta enklast genom att välja n*1-vektorn vars alla element är lika med 1. Då gäller att C multiplicerat till vänster om denna vektor blir en n*1-vektor där varje element har värdet t. Trivialt gäller även att t gånger vektorn med bara ettor blir samma vektor där varje element har värdet t.

Således är t ett egenvärde som hör samman med egenvektorn där varje element har värdet 1.

Okej då får jag linjerna
y=3x-2
y=3x-7
y=x/2 + 3
y=x/2 + 1/2

Men är inte med på hur man kan se utifrån det där vilka variabelbyten man ska göra? Vet att man gärna vill ha en rektangel för då ser man gränserna enkelt men ser inte vilket variabelbyte man ska göra.

Nu hänger jag inte riktigt med?
Ska man inte använda definitionen av egenvärden? C*t=t*x .
Varför ska man multiplciera med en vektors vara alla element är lika med 1? Hur kommer man på detta?

Definitionen av egenvärde ger att C*x=t*x, så det är just precis definitionen jag har använt. Att jag tog vektorn med bara ettor var visserligen ett trick, men det enda man har givet om matrisen C är att summan av alla element i respektive rad blir t. Multiplicerar man C med en vektor med bara ettor så får man just summan av elementen i varje rad i C, dvs en vektor där varje element har värdet t. Eftersom t gånger vektorn med ettor blir samma sak har man alltså visat att definitionen av egenvärde är uppfylld.

Skriv om ekvationerna så här:

3x - y = 2
3x - y = 7

y - x/2 = 3
y - x/2 = 1/2

Således använder du variabelbytet

u = 3x - y
v = y - x/2

Då blir gränserna

2 ≤ u ≤ 7
1/2 ≤ v ≤ 3

dvs ett rektangulärt område.

Okej skulle du kunna visa det algebraiskt?
Såhär?
C*(1,1,1,......,1) = (t,t,t,......,t)
t*(1,1,1,........,1)=(t,t,t,.......,t)
Måste inte vektorn med alla ettor, vara en vektor med n element?

Men finns det flera metoder att lösa uppgiften på , än det här tricket?
Tror inte jag hade lyckats komma på det här tricket...