*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Visst är det ointuitivt att en sådan "tratt" kan fyllas med en ändlig mängd målarfärg, men att färgen inte räcker för att måla tratten (ens invändigt där färgen är).

Men vad det egentligen handlar om är att tratten inte kan målas med ett jämntjockt lager färg. Om man låter lagret bli tunnare ju längre ned i tratten man kommer så fungerar det. Det är just så den ändliga volymen fungerar.

Gabriels Horn eller Torricellis trumpet:
https://en.wikipedia.org/wiki/Gabriel%27s_Horn

Utan att gå igenom hela uträkningen så ser det ut som att du har räknat rätt. Anledningen till det ointuitiva resultatet är att vid volymberäkningen så utgörs volymelementet mellan x och (x + dx) av π*r²*dx medan arealementet utgörs av 2π*r*dx, där r i båda fallen är 1/x. Du har alltså att volymelementet är proportionellt mot 1/x² medan areaelementet är proportionellt mot 1/x. Eftersom 1/x² går snabbare mot 0 då x → ∞ än vad 1/x gör så får man det här lite underliga resultatet.

Uttryckt i ord kan man alltså säga att om man betraktar en liten bit av kurvan 1/x för stora värden på x så är den ytterligare volymen man får av en liten bit 2x gånger mindre än den ytterligare arean hos samma bit eftersom förhållandet mellan 1/x² och 1/x är just x. Ju större x blir, desto större blir förhållandet mellan den extra arean och den extra volymen.

Skulle någon vara vänlig och hjälpa mig tolka denna formel:

https://upload.wikimedia.org/math/2/5/8/2584486d5134ca1e52bb0b6a806a4a3a.png

Jag förstår första summan att k går från 0 till n, n bestämmer man själv.

Jag förstår däremot inte den andra summan, v går från 0 till k. Om n är 0,1,2,3, vad är då k?

Kommer n i andra summan alltid vara samma?

Ska man räkna ihop de olika två summeringarna separat för att sedan multiplicera ihop dom?

På den första så kan du skriva om integrationsgränserna som 0 ≤ x ≤ √(y) och 0 ≤ y ≤ 1 och sedan integrerar du med avseende på x först (detta är en ledtråd, jag gick igenom lösningen lite halvt i huvudet och såg att det blir mycket jobbigare om du försöker integrera med avseende på y först). Du kan bryta ut 1/(1+y²) utanför integralen när du integrerar med avseende på x eftersom y inte beror direkt på x. Sätt sedan in integrationsgränserna så får du ut ett uttryck som innehåller y och detta multiplicerar du med det 1/(1+y²) som du lämnade utanför när du integrerade med avseende på x. Resultatet som ska integreras med avseende på y blir ett bråk där du förhoppningsvis kan se att det går att göra ett variabelbyte för att få en enklare integrand. Skriv ut ditt försök här så får du fler ledtrådar vid behov.

På den andra så deriverar du med avseende på x och y och letar efter extremvärden dels där derivatan är noll och dels i hörnpunkterna.

Jag har kurvan y^2=x(x-5)^2 som bildar en ögla ur vilken jag ska ta reda på volymen när man roterar denna ögla kring x-axeln. Hur görs detta?

En cylinders volym ges ju av V=pi*r^2*h

Låt nu y= r och dx=h och summera sedan över intervallet. Intervallgränserna ges där integranden är 0, dvs då y^2=0.

lg(r/3*10^16) = 0,12

Finns det något annat sätt än att ta 10^ i båda led så att lg och 10 tar ut varandra? Hur gör man annars när man ska lösa ut en variabel som finns inom logaritmparentesen, typ lg(x+5), lg(3y+x*2) eller lg(t/5)?