*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Har du kunskaper kring linjär algebra? Helt klart trevligaste sättet att lösa det på men går såklart att göra utan det också. I alla fall:

Sök normallinjen till given linje som går igenom punkten (2, 2). Givet vår linje med k₁ = -1/2 ska gälla för normallinjens k-värde k₂ att k₁·k₂ = -1. Detta ger oss genast att k₂ = 2.

y = 2x + m

Insättning av punkten (2, 2) ger att y = 2x - 2. När skär dessa linjer varandra?

y = 2x - 2
y = -1/2·x + 2

Löser du detta får du punkten (8/5, 6/5). Detta är mittpunkten mellan (2, 2) och spegelpunkten vi söker. Detta ger med mittpunktsatsen:

(8/5, 6/5) = (x_m, y_m) = 1/2·(x + 2, y + 2)

Detta ger oss att:

8/5 = 1/2·(x + 2)
6/5 = 1/2·(y + 2)

Detta ger punkten (6/5, 2/5) vilket alltså är spegelpunkten.

Sök den plana fyrhörning med given area, vars omkrets är minimal. Bevisa påståendet!
(Ledning: Drag diagonalerna)

Jag har kommit fram till att den sökta fyrhörningen är en kvadrat men är inte riktigt säker om mitt bevis är korrekt.

Kalla sidorna för a,b,c,d och vinklarna för v1,v2,v3,v4. Enligt areasatsen är då A=A1+A2=1/2*absinv1+1/2*dcsinv2 --> 2A=absinv1+dcsinv2
Om jag nu gör på motsvarande sätt för de två övriga vinklarna får jag att 2A=adsinv4+bcsinv3

2A+2A=4A=absinv1+dcsinv2+bcsinv3+adsinv4. Det är nu det som oroar mig mest i mitt bevis kommer. Jag tänker att 4A är konstant för alla fyrhörningar vilket betyder att om till exempel sinv1 blir större måste ab bli mindre och vice versa. Omkretsen a+b+c+d blir som minst då ab,dc,ad och bc är så små som möjligt vilket de då v1=v2=v3=v4=90 grader så att 4A=ab+dc+ad+bc.

Det gäller nu att för en given area A bevisa att en kvadrat har mindre omkrets än en rektangel. Säg att A_k=A_r=a^2=bh där a är sidan i kvadraten och b och h är sidorna i rektangeln. Anta nu att O_k>=O_r så att 2a>=b+h. Kvadrera nu båda leden --> 4a^2=4bh>=b^2+2bh+h^2 som kan förenklas till -(b-h)^2>=0 och vi har fått en motsägelse. O_k är alltså mindre än O_r förutom i det fallet då rektangeln är en kvadrat.

Till en given area A har alltså kvadraten den minsta omkretsen.

Omforma (genom att multiplicera ihop parenteserna)

(2x-y)(x+2y)(x-y)

Hur gör jag när jag har tre stycken att multiplicera ihop?
Börjar jag att multiplicera 1:an med 2:an å sen allt de med 3:an eller hur?

Tack!

Den blir y²/4 helt enkelt.

y²/4

Tack för svar! Ja det är just algebra jag läser nu! =)

Dock är svaret från facit på denna fråga:
(1, 2; 0, 4)

hmmm? =/

Ibland överanalyserar man saker Tack.

Frågan är om jag har gjort rätt här? Ska alltså beräkna rotationsvolymen av området som begränsas av kurvan y=2-2x² och båda positiva koord.axlarna rotera kring y-axeln.

Jag får integralen från 0 till 2 pi*((1-y/2)) = pi*[y-(y²/4)] = pi*(2-(4/4)) = pi*(2-1) = pi

Jag tycker att det är lite för mycket handviftande för att det ska accepteras som ett bevis tyvärr. För att hjälpa dig på traven till ett mer rigoröst argument så försök lösa följande problem för att sedan använda det till att lösa det du har nu.

Om du har en triangel med en given sida c och en given area, visa då att omkretsen minimeras då de två övriga sidorna är lika lång.

För att visa detta, använd följande argument (FB) Matteuppgiftstråden (För de som inte vill skapa en egen tråd)

När du lyckats lösa detta problem, dra då ena diagonalen på din fyrhörning (jag antar att den är konvex), denna diagonal får agera sida c och nu har du två trianglar på varsin sida av denna. Vad kan du dra för slutsatser?

Har du kunskaper kring linjär algebra? Helt klart trevligaste sättet att lösa det på men går såklart att göra utan det också. I alla fall:

Sök normallinjen till given linje som går igenom punkten (2, 2). Givet vår linje med k₁ = -1/2 ska gälla för normallinjens k-värde k₂ att k₁·k₂ = -1. Detta ger oss genast att k₂ = 2.

y = 2x + m

Insättning av punkten (2, 2) ger att y = 2x - 2. När skär dessa linjer varandra?

y = 2x - 2
y = -1/2·x + 2

Löser du detta får du punkten (8/5, 6/5). Detta är mittpunkten mellan (2, 2) och spegelpunkten vi söker. Detta ger med mittpunktsatsen:

(8/5, 6/5) = (x_m, y_m) = 1/2·(x + 2, y + 2)

Detta ger oss att:

8/5 = 1/2·(x + 2)
6/5 = 1/2·(y + 2)

Detta ger punkten (6/5, 2/5) vilket alltså är spegelpunkten.

Hur många tresiffriga tal innehåller inte talet 3? Motivera


Finns det något smart sätt att lösa denna, än att räkna själv?