Citat:
Det är bra att lära sig lite om hur olika funktioner ser ut när man ritar upp deras grafer.
Du vet säkert att y = k*x + m är en rät linje som korsar y-axeln i punkten x=0, y=m.
Om k > 0 så lutar kurvan så att större x-värden ger större y-värden.
Om k < 0 så lutar kurvan åt andra hållet, dvs större x-värden ger mindre y-värden.
OBS! Fortsätt inte att läsa om det är något som oklart. Repetera tills det sitter.
Du kanske också känner till att y = a*x^2 + b*x + c är blir en kurva som heter parabel.
Det är en kurva som ser ut som ett U om a > 0 och som ett uppochnervänt U om a < 0.
Kurvan skär y-axeln i punkten (0,c) och om den skär x-axeln så gör den det på två ställen.
Kurvan har ett minimum (om den ser ut som ett U) eller ett maximum (om det ser ut som ett uppochnervänt U). Var denna extrempunkt ligger kan du räkna ut genom att derivera och sätta derivatan till 0. Alltså y' = 2*x + b = 0. Dvs x = -b/2.
OBS! Fortsätt inte att läsa om det är något som oklart. Repetera tills det sitter.
Nu kommer vi till den kurva som du ska rita.
y = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
Det är en kurva som liknar en rät linje på så sätt att den för lämpligt val av x kommer att kunna antal alla y-värden från minus oändligheten till plus oändligheten, men till skillnad från den räta linjen så är den inte helt rak utan slingrar sig lite.
Kurvan skär y-axeln i punkten (0,d). I ditt fall är ju d=0 så kurvan skär y-axeln i origo.
Om a>0 så går den från "långt nere" i tredje kvadranten till "långt uppe" i första kvadranten.
Om a<0 så går den från "långt uppe" i andra kvadranten till "långt nere" i fjärde kvadranten.
Den passerar därför y-axeln minst en gång, men för en del värden på a, b och c så passerar den y-axeln tre gånger.
OBS! Fortsätt inte att läsa om det är något som oklart. Repetera tills det sitter.
För att ta reda på "hur mycket" kurvan slingrar sig så kan man derivera den och sätta derivatan till 0.
y' = 3ax^2 + 2bx + c = 0
Detta är en andragradsekvation som du löser på dit favoritsätt.
Om ekvationen inte har någon (reell) lösning så har kurvan inga platåer och inget lokalt minimum och maximum.
Om ekvationen har en lösning så har kurvan en platå, men inget lokalt maximum och minimum.
Om ekvationen har två lösningar, x1 och x2, så har kurvan ett lokalt maximum och ett lokalt minimum.
För att ta reda på vilken av punkterna x1 och x2 som har ett lokalt maximum så deriverar du en gång till.
y'' = 6ax + 2b
Denna andraderivata är positiv för det ena av x1 och x2 och negativ för det andra.
När andraderivatan är positiv så har du ett lokalt minimum för funktionen.
När andraderivatan är negativ så har du ett lokalt maximum för funktionen.
OBS! Fortsätt inte att läsa om det är något som oklart. Repetera tills det sitter.
När du ska rita din kurva på ett rutat papper, skit i miniräknaren, ska du alltså först räkna ut x1 och x2 så att du vet hur du ska gradera din x-axeln. Börja lite till vänster om x1 och sluta lite till höger om x2. För att du ska veta hur du ska gradera din y-axel så räknar du ut y1 = y(x1) och y2 = y(x2) och börjar lite under det minsta och slutar lite över den största.
Sen är det bara att stoppa in olika värden på x och räkna ut y för varje x-värde.
Kom ihåg att lutningen på kurvan ska vara 0 när x=x1 och när x=x2.
Lycka till med ritandet!
