*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

[...]

1

a)

Notera att sqrt(x^4 + 1) i princip är sqrt(x^4). Notera därför:

sqrt(x^4) < sqrt(x^4+1)
<=> 1/sqrt(x^4+1) < 1/sqrt(x^4)

Nu är ln x > 0 om x > e^0 <=> x > 1. Dvs:

ln(x)/sqrt(x^4+1) < ln(x)/sqrt(x^4). Dela nu upp integralen :

[0 1] § ... + [1 oo] § ...

Vi har:
[1 oo] § ln(x)/sqrt(x^4+1) dx < [1 oo] § ln(x)/x^2 dx

Den senare kan du lätt visa är konvergent. Därför är [1 oo] § ln(x)/sqrt(x^4+1) dx mindre än den och därför konvergent. Kvar då är:

[0 1] § ln(x)/sqrt(x^4+1) dx att analysera. Kan du analysera den?

b)

[1 oo] § sin(1/sqrt x) dx

Kan börja med att byta x = y^2 då är dx = 2y dy vilket ger:

[1 oo] § sin(1/y) 2y dy
= 2 [1 oo] § y sin(1/y) dy

När y -> oo så blir sin(1/y) ~= 1/y vilket gör att för tillräckligt stora y är y sin(1/y) ~= 1. Därför summerar vi i princip till slut integraler av typen [a b] § 1 dy = (b-a) där b -> oo och a är ett tillräckligt stort tal. Därför divergerar den. Alternativt kan man tänka direkt att sin(1/sqrt x) ~= 1/sqrt x för tillräckligt stora x och då har vi problem att konvergera.

Har lite problem med linalgen igen...

Fråga 1:
Hur kontrollerar jag att vissa vektorer är en ortonomerad följd? Ortogonala och med längd 1?

Fråga 2:
http://imgur.com/ZxiZIlZ
Hur bestämmer jag ON-bas när ingen är ortogonal? Ska jag använda projektionformeln?

Japp, alla ska vara ortogonala mot varandra och ha längd 1.



http://sv.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidts_ortogonaliseringsprocess

Ta en vektor. Normalisera den.
Ta nästa vektor. Subtrahera projektionen på första vektorn. Normalisera resten.
Ta ytterligare en vektor. Subtrahera projektionerna på de två tidigare vektorerna. Normalisera resten.
Fortsätt på samma sätt: Ta en ny vektor. Subtrahera projektionerna på de tidigare vektorerna. Normalisera resten.

Uhum,

Om man vill använda Eulers stegmetod med steget h=1/2 och har formeln y'''=x+y med y(1)=3, y'(1)=2 och y''(1)=1 vad blir då y(2)?

Första steget är enkelt, jag startar i x=1 och med y=3 då det var givet i uppgiften. Sedan följer jag tangentens riktning y'(1)=2 h steg dvs 2*1/2=1 uppåt. Då får jag mitt nya y-värde 3+1=4. Men hur beräknar jag derivatan i min nya punkt y=4? Jag vet ju vad tredjederivatan y''' är men inte y'. Jag testade att göra en substitution

y=u1
y'=u2
y''=u3
u3'=y'''

men sedan körde jag fast.

Visa att cos(s-t) = cos(s)*cos(t)+sin(s)*sin(t)

Hur ska jag börja?
Hur gör jag om jag vill visa additionssatsen och subtraktionssatsen för sinus, och även additionssatsen för cosinus?

Visa att cos(s-t) = cos(s)*cos(t)+sin(s)*sin(t)

Hur ska jag börja?
Hur gör jag om jag vill visa additionssatsen och subtraktionssatsen för sinus, och även additionssatsen för cosinus?

Har du gått igenom Eulers samband e^ix = cos x + i sin x? Den vägen är enklast i så fall.

Låt s och t beteckna två vinklar i enhetscirkeln. Beteckna Q = (cos(s),sin(s)) och P = (cos(t),sin(t)). Dra ett linjesegment PQ. Tillämpa avståndsformeln så får vi:
(PQ)^2 = (cos(s)-cos(t))^2 + (sin(s) - sin(t))^2
Utveckla kvadraterna i HL så erhålls:
(PQ)^2 = cos^2(s)-2cos(s)cos(t) + cos^2(t) + sin^2(s)-2sin(s)sin(t) + sin^2(t) = cos^2(s) + sin^2(s) + cos^2(t) + sin^2(t) - 2cos(s)cos(t) - 2sin(s)sin(t) = 2-2(cos(s)cos(t)+sin(s)sin(t).
Cosinussatsen på triangeln PQO, där O är origo, ger:
(PQ)^2 = 1^2 + 1^2 - 2*1*1cos(u-v) = 2 -2cos(u-v)
Sätt de båda uttrycken lika med varandra:
2-2(cos(s)cos(t)+sin(s)sin(t) = 2 -2cos(u-v) <=> cos(u-v) = cos(s)cos(t)+sin(s)sin(t)

Det har jag inte. Jag har iallafall bevisat cos(s-t) = cos(s)*cos(t)+sin(s)*sin(t) med hjälp utav enhetscirkeln.
Hur går jag tillväga för att visa de resterande formlerna?



Tack så mycket! Löste den på precis samma sätt. Skönt med en bekräftelse att man har gjort rätt också!