*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Hur hittar man en normalvektor till ett plan givet i normalform?

I en uppgift säger dem i facit att en normalvektor till planet x-2y+2z=0 är (1,-2,2). Hur tänker man här?

Jag har glömt hur man triangulerar. Någon som kan friska upp mitt minne?

Koefficienterna framför x,y,z. Alltså planet med ekvationen
Ax+By+Cz+D = 0
har normalvektorn n=(A,B,C).

Varför är det så? Någon formel som man bara bör lära sig eller går det att bevisa någorlunda enkelt?

Reglerna är:

* Man kan addera eller subtrahera en multipel av en rad till en annan rad eller en multipel av en kolumn till en annan kolumn (utan att determinanten påverkas).

* Man kan byta plats på två rader eller två kolumner vilket medför att determinanten växlar tecken.

* Om man multiplicerar alla element i en rad eller i en kolumn med en konstant så kommer matrisens determinant att påverkas med samma faktor.

Och i vilken ordning du ska (bör) utföra operationerna kan du nog (som vid Gausselimination).

En ekvivalensklass är en mängd. Med [x] menas mängden av element y som är ekvivalenta med x.
I exemplet är [0] mängden av element som är ekvivalenta med 0, vilket är 0 och 3, så mängden blir {0, 3}. Alltså är [0] = {0, 3}. På samma sätt är [3] = {0, 3}.

Varje ekvivalensrelation på en mängd kommer dela in den mängden i ett antal disjunkta delmängder. I varje delmängd kommer du hitta de element som kan relateras till varandra med din ekvivalensrelation. Det är dessa delmängder som är dina ekvivalensklasser.

Nu vet jag inte riktigt vad det är för notation som används i ditt exempel med kongruenser, men kongruensrelationen är en ekvivalensrelation, alltså kommer det finnas ekvivalensklasser. När man rör sig med kongruenser brukar dessa kallas restklasser, de är alltså de tal som ger samma rest vid division med din modul n.

Så om man räknar modulo 3 så kommer 0 vara kongruent med 3, de ger samma rest 0 vid division med 3. Likavis ger 1 och 4 resten 1 vid division med 3, osv osv.

Mängden {0, 3} är alltså en restklass, {1, 4} en annan restklass och {2} en tredje restklass.

För att svara på din fråga om hur många klasser relationen kongruens mod 3 så kan man fråga sig hur många möjliga rester man kan få vid division av helta l med 3? Kom ihåg att alla de tal som ger samma rest kommer i samma restklass (eller ekvivalensklass om man nu vill kalla dom det).

Hur visar man med induktion att Dx^n = nx^(n-1), n större än/lika med 1?

A = { 0,1,2,3,4}
a≡b mod 3, a,b ∈ A

Så R = { (0,0), (0,3), (3,0), (3,3), (1,1), (1, 4), (4, 1), ( 4,4), (2,2) }

Partionerna enligt boken är
A_1 = {0,3}
A_2 = [1,3}
A_3 = {2}

Som jag förstår det så är det endast de tal som ger rest noll som står i relation till varandra.
De tre partionera som skapas/är? (skapar man dem eller är de?, dvs. i det här exemplet, hade A_i, kunnat se ut på något annat sätt?)?

Just nu står ju alla elementen i relatioen med varandra då de ger rest noll i konugrensräkning då n=3 - Inte för att de olika partionerna ger olika rest.

Så som jag förstår det så finns det tre olika partioner och även tre olika ekvivalensklasser? Är de alltid av samma antal? Vad skiljer en partion och en ekvivalensklass?

Eftersom [0] = [3] = { 0, 3} så verkar [0] = [3] vara samma klass och därför endast räknas som en klass?

Stort tack för er hjälp!

Tack så mycket, du verkar kunnig! Tror du att du kan ge ett exempel med påhittade siffror? Och tack för att du klargjorde reglerna kring det där. Jag har alltid tyckt att just triangulering var lite krångligt, och jag glömmer bort det lite då och då, så jag försöker att friska upp mitt minne någon gång per år!

Rimligt är att skriv x^n som x*x^(n-1) och derivera enligt produktregel, med induktionsantagande blir det då enkelt.