Bestämma vektorer (svårt!)

B = (B1, B2, B3). Bestäm alla vektorer v = (v1, v2, v3) av längden 1 som är ortogonala mot B
och som har första koordinaten 0."

Hur ska jag tänka?

Börja med att ställa upp varje egenskap som beskrivs som ett matematiskt uttryck.

Okej, jag tänker att (v1)^2 + (v2)^2 + (v3)^3 = 1 men eftersom den första koordinaten är 0 blir det (v2)^2 + (v3)^3 = 1 (?)

Skalärprodukten ger Bv = B1v1 + B2v2 + B3v3 = 0 men eftersom den första koordinaten är 0 blir produkten B2v2 + B3v3 = 0 (vet ej om detta stämmer)

Frågan är nu bara hur jag ska lösa ut v. Har ni några förslag?

V3 vill du ha i kvadrat också, inte i kubik.


Nej, du ska fortfarande ha v3 i kvadrat. Men annars tänker du rätt.


ja, eftersom v1 är noll så är den termen alltid noll.


Du har två ekvationer. Använd den första för att skriva v2 som funktion av v3 och vice versa. Använd dessa för att genom den andra skriva v2 resp v3 som funktion av B2 och B3.

Skalärprodukten mellan B och v är noll för alla sådana vektorer. Normera vektorerna så är de alltid enhetslängd (längd 1).

Alltså:

B · v/|v| = 0

v1 = 0 eftersom första koordinaten noll. c = 1/|v| är en skalär, så c(B · v) = 0. Det räcker alltså med att först finna (B_1, B_2, B_3)· (0, v_2, v_3) = 0 och sedan dividera med längden av vektorn för att normera till längd 1.

(B_1, B_2, B_3)· (0, v_2, v_3) = B_2*v_2 + B_3*v_3 = 0 ger v_2 = -B_3*v_3/B_2 (*)
c = 1/|v| = 1/sqrt(v_2²+v_3²) = 1/(B_3v_3(1+1/B_2) med substitutionen ovan.
Vilket håll vektorn går åt spelar ingen roll, så både ±v är giltiga lösningar.

v/|v| = ±c*(0, -B_3*v_3/B_2, v_3) med c = 1/(B_3v_3(1+1/B_2))

alternativt (beroende på vad du bryter ut i (*)):

v/|v| = ±d*(0, v_2, -B_2v_2/B_3) med d = 1/(B_2v_2(1+1/B_3))

Förenkling ger

v = ±(0, -1/(1+B_2) , 1/(B_3(1+1/B_2)) )
alt. ±(0, 1/(B_2(1+1/B_3)) , -1/(1+B_3) )

om jag gjort rätt i huvudet.

Man bör kanske beakta fallet där B=(x,0,0), "x in R\{0}", då v är en enhetscirkel i yz-planet.

Min lösning:

Låt ex stå för enhetsvektorn längs x-axeln. v måste då vara vilkelrät mot både ex och b.

1. Om b är 0 eller om b är parallell med ex ges svaret av alla
v = (0,vx,vy)
med längden 1, dvs av cirkeln vx²+vy²=1.

2 I övriga fall är kryssprodukten
ex × b = (1,0,0)×(b1,b2,b3)=(0,-b3,b2)
vinkelrät mot både ex och b, samt nollskild.
Detta ger de två lösningarna
±ex×b/|ex×b| = ±(0,-b3,b2)/√(b2²+b3²)

Ja, du har rätt. Nerdnerd hade också svarat såg jag, så det inlägget får fylla i det jag inte fick med.

Okej, jag testar och gör som du säger:

v2 = sqr(1-(v3)^2) samt v3 = sqr(1-(v2)^2)

Om jag sätter in detta i den andra funktionen ger detta:

B2*sqr(1-(v3)^2) +B3v3 = 0 ---> B2*sqr(1-(v3)^2) -B3v3 ---> +-B2*sqr((B2)^2 + (B3)^2))/((B2)^2 + (B3)^2)) = v3

Detta känns inte rätt, och hur ska jag få fram vektorns koordinater?

Orkar inte kontrollräkna om du har gjort rätt, men har du det har du välj just fått fram just det.

Alla inlägg som svarar på samma fråga flyttade från (FB) Matteuppgiftstråden (För de som inte vill skapa en egen tråd) till denna tråd så vi får alla svar samlade på ett ställe.

TS uppmanas att inte korsposta samma fråga i flera olika trådar.

/Moderator