Citat:
Ursprungligen postat av
starke_adolf
Du har rätt, (fog) = (0x+1)^2+1 = 2.
Måste ha gjort något fel nedan, för det går ihop i mina utvecklingar.
b=1 och a=0:
fog = (0)x^2 + (0)x + 1 = 1 (ska vara =2!)
gof = (0)x^2 + (0)x + (0+1)1 = 1
a=0, b=1:
fog = (1)x^2 + (0)x + 1 = 1
gof = (1)x^2 + (0)x + (1+0)1 = 1
För \(a=0\) och \(b=1\) fås:
\[
f(x)=x^2+1\quad\text{och}\quad g(x)=1
\]
vilket ger
\[
(f\circ g)(x) = 1^1+1=2\quad\text{och}\quad
(g\circ f)(x) = 1.
\]
Ett lösningsförslag är:
Sätt
\begin{align*}
h(x)
&
=(f\circ g)(x)-(g\circ f)(x)
=(ax+b)^2+1-\bigl(a(x^2+1)+b\bigr)
\\&=a(a-1)x^2+2abx-a+b^2-b+1.
\end{align*}
För att \(h(x)=0\) för alla reella \(x\) har vi att
\begin{align*}
\left\{
\begin{aligned}
a(a-1)&=0\\
ab&=0
\end{aligned}
\right.
\end{align*}
Om \(a=0\) har vi att \[h(x)=b^2-b+1=(b-\tfrac{1}{2})^2+\tfrac{3}{4}>0\]
för alla reella \(b\).
Om \(a=1\) har vi att \[h(x)=2bx+b^2-b=0\]
för alla reella \(x\) om och endast om \(b=0\).
Svar: \(a=1\) och \(b=0\).
