*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Det har inget med derivatan att göra, utan det har att göra med att x < 0 då x är till vänster om origo och x > 0 då x är till höger om origo.

Du kan inte integrera |lnx| över det där intervallet. Utan om vi istället väljer integralen

∫_{1/2, 2} |lnx| dx

så har man att lnx byter tecken då x = 1, så det är här man ska dela upp integralen. Så

∫_{1/2, 2} |lnx| dx = ∫_{1/2, 1} |lnx| dx + ∫_{1, 2} |lnx| dx = ∫_{1/2, 1} -lnx dx + ∫_{1, 2} lnx dx.

Origo är inte relevant, bara punkter på själva cirkeln är relevanta.

Det stämmer att x-koordinaten är noll för vinklarna π/2 och -π/2. Hur stor är vinkeln mellan dessa två?

Den är π radianer. Jag förstår, men hur kan man se de fall där man kan skriva samman lösningarna?

Så om vi har

∫_{2, 3} |sinx| dx. Det här betyder ju ∫_{2, 3} -sinx dx och ∫_{2, 3} sinx dx. Är inte riktigt med på uppdelningen, förstår att |x| dels är -x och dels x.

|x - 2| kan ju delas upp i -(x-2) när x < 2 och x - 2 när x>2.

Eftersom sin(x) > 0 på hela intervallet [2, 3] så behöver du ingen uppdelning. Du får bara att

∫_{2, 3} |sinx| dx = ∫_{2, 3} sinx dx.

Men säg att vi integrerar över intervallet [pi/2, 3pi/2] istället, då är

∫_{pi/2, 3pi/2} |sinx| dx = ∫_{pi/2, pi} sin(x) dx + ∫_{pi, 3pi/2} -sin(x) dx

eftersom det är på intervallet [pi/2, pi] som sin(x) ≥ 0, och på intervallet [pi, 3pi/2] så är sin(x) ≤ 0.

Jag förstår. Hur ser man enklast brytningspunkten (dvs där teckenbytet inträffar)?

Om man har |f(x)| och f är kontinuerlig så letar man nollställena till f, det är här de potentiella brytpunkterna finns.

Säg att jag har ∫_{0, 2} |x² - 1| dx.

x² - 1 när x > 1
-(x² - 1) när -1<x<1

Brytpunkten är alltså x = 1.

Stämmer ∫_{0,1} -(x² - 1) dx + ∫_{1,2} x² - 1 dx?

Man finner alltså brytpunkten, och sedan integrerar två "olika" funktioner, beroende på brytpunkten?

Ja det stämmer. Om man integrerar |f(x)| så delar man helt enkelt upp integrationsintervallet i delar så att f har samma tecken i varje enskilt intervall. Så om man har integralen

∫_{0, 10pi} |sin(x)| dx

så kommer man behöva dela upp det i fler intervall än bara två, eftersom man har flera teckenbyten i intervallet [0, 10pi].

Rent generellt är det alltid bäst att börja med att rita ut lösningarna i enhetscirkeln och se om det finns något gemensamt avstånd mellan dem. För att det ska gå att skriva ihop som ett enda uttryck så måste lösningarna vara jämnt fördelade över cirkeln, dvs mellan varje par av intilliggande lösningar måste det vara samma vinkel. I det här fallet är det alltså π som är det avståndet, men det kan naturligtvis även vara π/2, π/3 eller någon annan vinkel som ryms ett heltal gånger inom ett varv på 2π.

Bestäm det minsta värdet på konstanten E så att y < E ger att

x*n^(2y) / (x^(2)*n^(4)+1)

går likformigt mot 0 då x > 0.

Jag vet definitionen på likformig konvergens, men har väldigt svårt att använda den i detta fallet,

" för alla ε > 0 finns ett N ∈ ℝ s.a när n > N ⇒ |f_n(x) - f(x)| < ε "

Uppgiften är att hitta ett minsta E och f_n(x)->0. Alltså gränsfunktionen f(x) = 0?
Har jag tänkt rätt så långt? Men vad är y? Blir förvirrad över alla variabler.

Du har tänkt rätt så långt, men om du har att

f_n(x) = x*n^(2y) /(x² * n⁴ + 1)

Bestäm maximum för |f_n(x)| för varje n och visa att detta maximum går mot noll. Detta eftersom om |f_n(x_n)| är maximumet så kommer det gälla att |f_n(x)| ≤ |f_n(x_n)| för alla x, och eftersom f_n(x_n) blir godtyckligt litet så följer likformiga konvergensen.

y i detta fall är bara någon konstant som du ska bestämma. Så försök finna maximum för |f_n(x)| och avgör för vilka y detta går mot noll.