*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Ett paket har formen av ett rätblock med kvadratisk basyta med sidan x dm, höjden h dm och volymen y dm^3. Summan av höjden och basytans omkrets är 21 dm.

a) Uttryck y som funktion av x.

y = x^2*h och h = 21-4x => y(x) = 21x^2 - 4x^3 vilket stämmer.

b) Ange funktionens definitionsmängd.

0<y(x)<...

Varför blir värdet där y(x) = 0?

c) Ange paketets mått då volymen är maximal.

y'(x) = 0 har ett minimum för x = 3,5. Det ger h = 7 dm, vilket stämmer.

3,5 x 3,5 x 7 dm och maximala volymen är 86 dm^3. Undrar alltså över b). Det är ju en funktion för volymen, bör inte vår maximala volym vara det som funktionen måste vara mindre eller lika med?

Det ser väl rätt ut, men du har inte motiverat varför x = 0 inte kan vara en heltalslösning. Samt att du inte angett lösningarna till ekvationen (dvs alla lösningar, inte bara heltal).

Jag skulle gjort en tabell så här: http://imgur.com/a/eLwbA.

Man ser då att lösningarna är -3 < x < -1 och 1 ≤ x < 2. Så summan av heltalslösningarna är -2 + 1 = -1.

ojdå missade den x=0(det blir nämligen negativ i täljaren och positivt i nämnaren)

Hur man anger ALLA lösningar är jag inte helt 100 på, jag antar att det blir alla värdena som finns i intervallen -3 < x < -1 och 1 ≤ x < 2.
Jag såg tabellen, en sådan har jag inte ställt upp tidigare, utan bara gjort sådan efter en funktion eller graf(det här är lite annorlunda) tack.

x² + y² = 1 utgör en cylinder i R³, detta eftersom du kan välja vilket z som helst. Det blir alltså en cirkel som du kan "flytta" hur du vill i z-led, vilket alltså ger en cylinder.

Parameterform innebär i detta fall att du ska ge en inverterbar funktion från ett intervall i R till skärningskurvan. Exempelvis så i första uppgiften så har man skärningen mellan planet z = 0 och cylinder. En parametrisering av den kurvan är γ(θ) = (cos(θ), sin(θ), 0), där 0 ≤ θ < 2pi. Så när θ går mellan 0 och 2pi så kommer γ(θ) gå längs hela kurvan.

Ja, alltså när man anger alla lösningar kan man svara med -3 < x < -1 och 1 ≤ x < 2. Man skulle också kunna svara exempelvis x ∈ (-3, -1) ∪ [1, 2), bara det framgår vilka intervall man avser att lösningarna ligger i så är svaret okej så att säga.

b) Definitionsmängden är alltså vilka x värden som funktionen kan ha som argument. Det är inte vilka värden funktionen kan anta, detta kallas för värdemängd.

c) En lite detalj bara, det är y som har ett maximum då x = 3.5.

Den första ekvationen kan du skriva om som

sin(2x + 30°)/cos(2x + 30°) = 11/4 ⇔
tan(2x + 30°) = 11/4 ⇔
2x + 30° = arctan(11/4) + 180°n

vilket ger att det gäller ungefär att

2x = 40° + 180°n ⇔
x = 20° + 90°n,

x ≈ 20° och x ≈ 20° - 90° = -70° är lösningar.

I den andra ekvationen så sätter du mycket riktigt t = sin(x) vilket ger dig ekvationen

5t² - 9t - 2 = 0 ⇔
t² - 9t/5 - 2/5 = 0,

nu ger pq-formeln att

t = 9/10 ± √(81/100 + 2/5) = 9/10 ± √(121/100) = 9/10 ± 11/10,

så t = 20/10 = 2, eller t = -1/5. Nu ska vi finna lösningarna så att sin(x) = 2, och lösningarna för sin(x) = -1/5. Den första ekvationen sin(x) = 2 har ingen lösning eftersom sinus största värde är 1. Så vi har att

sin(x) = -1/5 ⇔
x = arcsin(-1/5) + 360°n ≈ -11.5° + 360°n, eller x = 180° - arcsin(-1/5) + 360°n ≈ 191.5° + 360°n

Tack!
har dock fortfarande problem att greppa uppgiften om jag ska vara ärlig.
Vi har alltså en cylinder med radien 1 som kan anta vilka z-värden som helst.
Den skär ett plan där vi får olika värden på parametrarna ax+by+cz=0

a) z=0 bildar alltså ett plan. z=0 är ju en punkt men jag antar att planet det bildar kan anta vilka x och y värden som helst och därmed bli ett plan.
Då stämmer det att parametriseringen av skärningslinjen är parametriseringen av enhetscirkeln med z=0 och vinkeln varierar mellan 0 och 2pi.

b) y+z=0 bildar ett plan, antar vi här då att x kan ta vilka värden som helst?
Blir det geometriskt något sådant:
http://imgur.com/a/TwrcZ
har som sagt väldigt svårt att ''se detta visuellt''.
Finns det annars en metod att bestämma skärningslinjen rent räknemässigt mellan:
x^2+y^2=0 och y+z=0?

a) Nej z = 0 utgör ingen punkt, en punkt måste du ange med åtminstone tre värden. Du måste ju ange ett x, y och z värde för en punkt.

b) Ja, du ska hitta lösningsmängden till y + z = 0. Eftersom ekvationen inte ens bryr sig om x så kan jag ju välja x hur jag vill eftersom det inte påverkar lösningarna till ekvationen y + z = 0. Din bild ser rimlig ut, men inte helt lätt att fatta vart du har planet i bilden, fast det är ju inte så lätt att rita heller.

Ja, egentligen så är det ju ganska enkelt. Om du bara låter x = cos(θ), y = sin(θ) så får du ju från ekvationen ax + by + cz = 0 att z = -(ax + by)/c. Så en parametrisering blir

γ(θ) = (cosθ, sinθ, -sinθ)

i detta fall.

Så rent metodiskt kan man sammanfatta det som att om man får en cylinder, eller en annan typ av form som varierar i endast en variabel, i detta fallet värdet på z axeln. Om denna skärs med ett plan bör man ta reda på det planets relation till den saknade variabeln, i detta fall z.

c) Då c=0 har vi alltså ingen skärning?

Tack som tusan för all hjälp. Känner att jag måste ta och göra många liknande uppgifter innan jag känner mig helt säker.

I varje deluppgift bör väl parametern, θ, variera mellan 0 och 2pi?

Ja ungefär så, men rent generellt så finns det nog ingen metod som kommer fungera i alla olika situationer. Utan man får helt enkelt anpassa sig lite för varje situation.

I c) vill jag minnas att det är någon annan som har frågat om tidigare. Problemet med den är att du får en skärning. x + y = 0 är ett plan som är parallellt med cylinderns axel, så skärningen är två linjer. Så jag förstår faktiskt inte hur dom har tänkt att man ska parametrisera det.

Japp, θ ska variera mellan 0 och 2pi.

Grymt! stort tack!
Här är förhoppningsvis sista frågan jag fastnat på gällande parametriseringar och skärande plan:
Låt f(x,y) = 3x^2+4xy+3y^2 för alla (x,y) i R2.

Bestäm en parametrisering av kurvan som ges av skärningen mellan grafen till funktionen f och planet som ges av z=x+3y

Det finns en deluppgift innan där man gjort ett variabelbyte med u=x+y och v=x-y där man erhållit funktion i de nya variablerna enligt:
1/2*(5u^2+v^2) om det hjälper något.
Blir förvirrad då vi har en funktion i R2 som skärs av ett plan i R3?