*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Hej!

Jag har fått hjärnsläpp och har helt plötsligt glömt bort grundläggande trigonometri. Har sökt lite på internet, men har till min förvåning inte hittat något som behandlar just det här problemet.

Uppgift:

Bestäm cos v, sin v, tan v och cot v med hjälp av enhetscirkeln då

a) v = (-π)/6
b) v = (2π)/3
c) v = π
d) v = (5π)/4

π = pi, hittade ingen tydligare symbol för det.

Jag söker självklart inte svar på alla de här frågorna, utan en lösningsmetod som kan användas på alla.

Tack på förhand!

Ojdå det sista kom inte med! Det jag ska göra är att

"Bestäm funktionens största och minsta värde samt värdemängd." värdemängd är inga problem, det vet jag vad det är och så men jag vet inte hur jag ska göra med största och minsta värde!

Fast i de flesta fall (i alla fall de uppgifter i min bok) är det betydligt enklare att gå från den sida som "ser svårare ut" till den sida som "ser enklare ut"

Lite observationer till att börja med.

(cos(-3π/4)-sin(-3π/4))^2 = cos^2(-3π/4) - 2*cos(-3π/4)*sin(-3π/4)+sin^2(-3π/4) =

1-sin(-3π/2) = 1+sin(3π/2) = 1 + -1 = 0

på samma sätt är

(cos(19π/6) - sin (19π/6))^2 = cos^2(19π/6)-2*sin(19π/6)*cos(19π/6)+sin^2(19π/6) = 1-sin(19π/3)

Antingen så använder du lagrangemultiplikatorer (karush-kuhn-tucker) eller så
använder du följande metod vilken nog är enklare i det här fallet.

Max/minvärden antas antingen i det inre av området, eller på randen av området.

Således så börjar du med att lösa ∇f(x,y) = 0 och kollar om det är en tillåten punkt.
För att hitta extrempunkten på randen så observerar du att randen är en cirkel med radien 2 centrerad i origio.
På randen av denna cirkel så är x = 2*cos(Θ) y = 2*sin(Θ)
Substituera in detta i din målfunktion. Du har nu gått från f(x.y) till f(Θ) och löser optimeringsproblemet på randen precis som du gör i envariabelanalys.

(1+2x)^{1/sinx} = e^{ln(1+2x)/sinx)} Hur kan det vara ekvivalent?

Det gäller ju att e^lnx = x. Om du taylorutvecklar ln(1+2x) och sinx och låter därefter x --> 0 borde du få att gränsvärdet är e^2.

Lite problem eftersom jag klarar den ändå inte! Lagrange kan jag men det blir fel, är karush-kuhn-tucker något annat än den vanliga formeln? (f(x,y)+lambda g(x,y)! har inte räknat med cos, sin och tan innan (läste inte hela matte 4) så att använda dessa blir svårt för mig. Skulle du kunna ge den ett försök med lagrange?

Meeen, hur kommer det sig, för var tar 1:an vägen? se fetstil: (1+2x)^{1/sinx} = e^{ln(1+2x)/sinx)}

Jag använder räkneregeln ln(x^a) = a*lnx

∇f(x,y) = 0 -> 1+y² = 0 och att 2xy = 0 vilket är omöjligt. Således så måste extrempunkterna antas på randen.

På randen är x=2*cos(Θ) och y = 2*sin(Θ)

f(x,y) = 2*cos(Θ)+2*cos(Θ)*(2*sin(Θ))^2 = 2*cos(Θ)+2*cos(Θ)*4*sin^2(Θ) = 2*cos(Θ)+8*cos(Θ)*sin^2(Θ)

df/dΘ = 6*sin(3Θ)-4*sin(Θ)


df/dΘ = 0 -> 6*sin(3Θ)-4*sin(Θ) = 0 -> Θ = n*pi

Således har du en extrempunkt när Θ = 0 och en när Θ = pi

För Θ = 0 så är x = 2*cos(0) = 2 y = 2*sin(0) = 0
för Θ = pi så är x = 2*cos(pi) = -2 och y = 2*sin(pi) = 0

Således så har du extrempunkterna (2,0) och (-2,0)
Stoppa in dessa i orginalfunktionen och undersök vad de har för karaktär.

Blir icke rätt! Minsta värde skall vara ca -4,3 och största ca 4,3