*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Min bok känns inget vidare på just detta kapitel och jag har inte riktigt lärt mig hur jag ska tänka än..

Iallafall, andragradsfunktion.

Jag vet nollställena för funktionen, (x,y) 0,0 samt 247,0. Jag vet även vad y är vid symmetrilinjen, (123,5),37. Hur ska jag sätta upp en matematisk modell? Jag tänkte först Ax^2+Bx+C, tog genast bort C då y börjar på 0. Men sen då? Ax^2+247x?

Ifall någon berätta för mig vad denna typ av problem inom andragradsfunktioner kallas för så tänkte jag googla lite videos eller dylikt för att fatta hur jag ska tänka. Har haft 3 sådana uppgifter i rad nu och jag löser dem efter lite trial and error men har som sagt inte fått in "tänket" än.

Edit: Tror jag kom på att jag kan använda mig av ett ekvationssystem..

"Lös ekvationen iz^2+(2−2i)z−4= 0"

Ska jag då dividera med i överallt och sedan kvadrera som "vanligt"? (Oftast så jag löser denna typ av uppgifter, genom att säga w = a + bi)

Du kan ansätta z = a + bi om du vill. Då får du en andragradsekvation för imaginärdelen och en förstagradsekvation för realdelen.

∫∫ (y*sin(x)) / (1+x²+y²)³ dxdy, där |x|≤2 och 1≤y≤2.

Börjar med att bryta ut sin(x) och substituerar [u=(1+x²+y²) och dy = du/2y]

∫sin(x) (∫ y / u³ * du/2y) dx.

∫sin(x)/2 (∫ 1 / u³ du) dx. Nu söker jag efter den inre primitiven och får:

∫sin(x)/2 [- 1 / 2u³] dx.

Efter insättning kommer jag fram till: 1/4 * ∫ -sin(x)/(5+x²)² + sin(x)/(2+x²)².

Det känns som jag krånglar till det onödigt mycket plus att det blir ett helvete att hitta primitiven i nästa steg.

Någon som har förslag eller har lust att kommentera mina uträkningar?

Om du vet nollställena kan du skriva funktionen på formen (x-z)(x-w) där z resp. w är de två nollställena. Sen utvecklar du parenteserna för att få funktionen på formen ax^2+bx+c.

Det är enklare att utgå från de kända nollställena. Om en andragradsfunktion har nollställen i x = x₁ och x = x₂ så kan man skriva funktionen som y = a(x-x₁)(x-x₂). I ditt fall blir det alltså y = a(x-0)(x-247). Du kan lösa ut värdet på a genom att sätta in symmetripunkten. Dvs, y = 37 då x = 123,5.

Eftersom din funktion har ett maxvärde så är andragradstermen negativ. Det betyder att om du räknar rätt så ska du få ett negativt värde på a.

Ditt försök till substitution stämmer inte. När du har en multipelintegral så räcker det inte att derivera med avseende på en variabel för att få en ersättningsvariabel. Du måste ta hänsyn till determinanten av Jacobianen.

Faktum är att du inte behöver räkna så mycket på den här uppgiften. Integranden är en udda funktion i x och integrationsområdet är symmetriskt i x. Vad blir alltså integralens värde?

Ok. Blir fundersam, eftersom vi inte har gått igenom det här överhuvudtaget. Är helt lost vad du menar med "Integranden är en udda funktion i x och integrationsområdet är symmetriskt i x"?

Så på något (magiskt?) sätt ser du direkt att en uträkning är menlöst?

Visa med matematisk induktion, att
1·3 + 2·4 + 3·5 + ... + n(n+2) = n(n+1)(2n+7)/(6).

Basfallet
Visar att det stämmer för n = 1.
1(1+2) = 1(1+1)(2(1)+7)/(6) ⇒ 3 = 18/6.

Induktionsantagandet
Antag att det stämmer för något heltal k
S_{k} = 1·3 + 2·4 + 3·5 + ... + k(k+2) = k(k+1)(2k+7)/(6).

Induktionssteget
Vi visar att det stämmer för nästa heltal, d.v.s. (k+1).
S_{k+1} = 1·3 + 2·4 + 3·5 + ... + (k+1)((k+1)+2) = (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+7)/(6).

Summan av S_{k+1} är densamma som summan av talföjden då n=k plus nästa tal som är (k+1), det vill säga
S_{k+1} = S_{k} + (k+1)((k+1)+2) = (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+7)/(6) ⇔ k(k+1)(2k+7)/(6) + (k+1)((k+1)+2) = (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+7)/(6).

Stämmer detta hittills? Behöver jag bara visa att VL = HL i det sista steget? Tips?

Ta ett enklare fall som exempel.

Vad blir integralen av f(x) = x mellan x = -1 och x = 1? Det kan du enkelt räkna ut. Det blir noll. Samma sak om du integrerar exempelvis f(x) = x³ eller f(x) = sin(x) över samma intervall. Även om du byter ut x = -1 och x = 1 mot exempelvis x = -5 och x = 5 så blir det noll, för alla dessa funktioner.

Rent generellt gäller i envariabelfallet att om f(x) är udda, dvs att f(-a) = -f(a) för alla a, och att integrationsintervallet för x går mellan x = -c och x = c för något c, så blir integralens värde noll. Det beror på att för varje positivt bidrag till integralen så finns ett lika stort negativt bidrag på andra sidan y-axeln.

Det här kan man utnyttja även för flervariabelfunktioner. Din integrand, (y*sin(x)) / (1+x²+y²)³, har ju samma värde fast med motsatt tecken på olika sidor om y-axeln (dvs för positiva respektive negativa x). Detta eftersom sin(x) är en udda funktion medan nämnaren (1+x²+y²)³ är en jämn funktion (det betyder i envariabelfallet att f(-c) = f(c) för alla c) och en udda funktion dividerat med en jämn funktion kan man enkelt se att det blir en udda funktion.

Eftersom integrationen i x-led går mellan x = -2 och x = 2 så är alltså området symmetriskt i x, och därför blir integralens värde noll.

Det stämmer i princip att du kan räkna ut skillnaden mellan ditt nya högerled och högerledet för n = k och visa att det är lika med skillnaden mellan S_{k+1} och S_{k}, alltså (k+1)((k+1)+2). Jag har inte dubbelkollat att du fått fram rätt differens i högerledet.

Hur visar jag att k(k+1)(2k+7)/(6) + (k+1)((k+1)+2) = (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+7)/(6)?