*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Jag vet inte vad jag skulle göra utan dig...

Tack!

Jag har ditt namn i min signatur, en sorts erkännande för dina bedrifter till flashback

Har en ganska klurig uppgift som jag suttit på ett tag, verkar inte komma vidare på denna uppgift och hoppas att man kan få lite hjälp från er.

Beräkna gränsvärdet av
x_n = n cos(1/n) sin(1/n)

när n går mot oändligheten, alltså lim n→∞

Jag misstänker att jag måste använda mig av l'Hôpital's regel men jag vet inte hur jag ska börja med uppgiften.

ska du använda l´hopital ska du kolla upp om du har 0/0 eller oändligt/oändligt. Värt at notera är att sinus/cosinus har ett definitionsområde mellan -1 og 1 vardera

Temperaturen y grader C, under ett dygn, kan beskrivas av funktionen:

y(t) = 20 + 3sin((Pi*t)/(6) - (2*Pi)/(3))

Där tiden är t i timmar och där t=0 är midnatt.

Klas är väldigt frusen och vill ha över 22 grader C för att inte frysa. Under vilka tider på dygnet fryser inte Klas?

Jag löser ut t till att börja med och får det till ca 5,394 timmar när det är 22 grader.

Hur får jag fram vilka tider på dygnet det är över 22?

Jag noterar att det är en sinuskurva och maxvärdet är 23.

Men jag förstår inte hur jag kan fortsätta härifrån

Edit;
om jag Räknar ut minsta värdet och största värdet och perioden på det?

Jag är dock inte helt säker på om jag måste använda den regeln. Finns det andra sätt att räkna ut det på?

Skriv om uttrycket och använd L'Hôpitals regel. Använd egenskapen a · b = (a / (1/b)), b ≠ 0 för att skriva om gränsvärdet.

(n·cos(1/n) · sin(1/n)) = (cos(1/n) · sin(1/n) / (1/n)).

lim_{n→∞} = (n·cos(1/n) · sin(1/n)) omskrives således till lim_{n→∞} = ((cos(1/n) · sin(1/n) / (1/n)).

Nu är det bara att använda L'Hôpitals regel. Vet du hur du ska göra?

Här är en matris vi vill gaussa:
1 0 1 0 -1
0 1 -1 0 0
0 0 0 1 1

Får lösningen:
1 0 1 0 -1
0 1 -1 0 0
0 0 0 1 1

x1=-x3+x5
x2=x3
x3=t (fri variabel, ansätts till t)
x4=-x5
x5=0 ?
Sätts x5=0? och därmed även x4=0?

Låt l_1 vara linjen genom punkterna (2,4,2) och (1,1,0) och l_2 vara linjen genom punkterna (-1,3,-2) och (0,4,-2). (ON-system förutsätts)

Låt M vara planet genom punkten (1,1,1) och som inte skär någon av linjerna l_1 och l_2. Beräkna det kortaste avståndet mellan planet M och linjen l_2.

Lite hjälp hade varit fint om någon kan

detta är b) uppgiften, vet inte om a) uppgiften är nödvändig för att lösa b) men den är iaf :
a) Beräkna det minsta avståndet mellan punkten (0,4,-2) till linjen l_1

lim{n→∞} n sin(1/n) är endast standardgränsvärdet lim{x→0} sin(x)/x = 1 (gör variabelbytet n = 1/x). Sedan har du bara att lim{n→∞} cos(1/n) = 1 eftersom cosinus är kontinuerlig och cos(0) = 1. Alltså gränsvärdet är lim{n→∞} n sin(1/n) cos(1/n) = 1 * 1 = 1.

Tack! Visst behöver jag bara derivera tills jag inte får 0/0 eller ∞/∞ ? Det svar jag får då är alltså svaret på uppgiften?

Utan L'Hôpitals regel, men med standardgränsvärdet sin(t)/t → 1 då t → 0:

x_n = n cos(1/n) sin(1/n) = n (1/2) sin(2/n) = sin(2/n) / (2/n) → 1 då n → ∞.

Kom på svaret.