*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Säkerligen en enkel uppgift för den som förstår sig på detta, men jag förstår inte alls. Om jag har (1-sqrt2)(1+sqrt2) ska jag då använda mig utav konjugatregeln? Nån snäll som kan förklara hur jag egentligen ska lösa det hela?

Ni ska hitta Fourierserien till f(t) = e^(iαt) på intervallet [-π, π].

Koefficienterna till den komplexa Fourierserien f(t) = ∑_{n∈ℤ} c(n) e^(int) ges av
c(n) = 1/(2π) ∫_{-π}^{π} f(t) e^(-int) dt.


Det du har markerat med 1 är bara ett kommentar i beräkningen. Det är alltså inte resultatet av föregående led.

Vid 2 har man först satt in integrationsgränserna i den primitiva funktionen, sedan faktoriserat e^(i(α-n)π) = e^(iαπ) e^(-inπ) och e^(i(α-n)(-π)) = e^(-iαπ) e^(inπ), dä'refter använt e^(inπ) = e^(-inπ) = (-1)^n och slutligen brutit ut faktorn (-1)^n.

Vid 3 har man använt att e^(iu) - e^(-iu) = 2i sin(u).

Vid 4 har man satt in de beräknade uttrycken för c(n) i Fourierserien för f(t). Eftersom faktorn sin(απ)/π är gemensam för alla c(n) och inte beror av n kan faktorn brytas ut ur hela summan.


Här har jag skrivit ned en utförlig beräkning av integralen (faktorn 1/(2π) utelämnad):
∫ f(t) e^(-int) dt
= ∫_{-π}^{π} e^(iαt) e^(-int) dt
= ∫_{-π}^{π} e^(i(α-n)t) dt
= { om α-n ≠ 0 }
= [ e^(i(α-n)t) / (i(α-n)) ]_{-π}^{π}
= ( e^(i(α-n)π) - e^(i(α-n)(-π)) ) / (i(α-n))
= ( e^(iαπ) e^(-inπ) - e^(-iαπ) e^(inπ) ) / (i(α-n))
= ( e^(iαπ) (-1)^n - e^(-iαπ) (-1)^n ) / (i(α-n))
= (-1)^n ( e^(iαπ) - e^(-iαπ) ) / (i(α-n))
= (-1)^n ( 2i sin(απ) ) / (i(α-n))

Notera villkoret α-n ≠ 0. I fallet α-n = 0, dvs α är ett heltal, blir integralen ∫_{-π}^{π} 1 dt = 2π.

En fråga, ifall vi ska bestämma fourierserien för f på komplex form med period 2pi så är det på detta sätt vi ska gå tillväga, dvs. ta reda på C_n och ifall (enligt bifogat formelblad) har period T så tar vi också reda på C_n enligt det som är skrivet där i formelbladet.

Ifall man då ska ta reda på något i trigonometrisk form, är det på samma sät?

Ja, man beräknar C_n och stoppar in i serien.

Jag förstår inte vad du syftar på i den senare halvan av meningen ("och ifall ..."). Syftar du på färdiga formler så att man inte behöver integrera?



I stort sett samma sätt. Formlerna blir litet annorlunda, men går att härleda från det komplexa fallet.

Faktorsatsen är en bra början. Tänk på att du kan ha dubbla nollställen och därmed får en faktor (x-a)² där a är ett dubbelt nollställe.

Det jag har svårt att "se" är HUR vi kan förstå att det är just dirichlets respektive parsevals formel vi ska använda. För det första vill jag gärna veta, är dirichlets formel samma sak som plancherels formel? för jag kan inte hitta dirichlets konvergensats i min formelsamling.

Jag tror jag TYP kan se på ex. 3c där, att vi ska använda parsevals formel, då uttrycket är kvadrerat och "därför" ger det oss en hint om att vi ska utnyttja den formeln. Men det är inget hållbart tankesätt precis. Hur ska man tänka?

Ett polynom p av tredje graden har endast två nollställen, x = 2 och x = -1. Det gäller också att p(0) = 2. Det finns två polynom som stämmer in på detta. Vilka?

Jag förstår inte hur man skall lösa denna. Har försökt med faktorsatsen men vet inte riktigt vad som skall stå, om det inte är 0, i den tredje parentesen.

Jag misstänker att det som "tar ut" varandra (men som egentligen handlar bara om att e^0 = 1) är termen e^-inpi - e^inp vilket är samma sak som e^-inp+inpi , vilket är samma sak som e^0 = 1. Detta då vi för övriga termer har e^pi - e^-pi, vilket är även kvar där under det jag markerat som svart. Rätt tänkt? för då är jag med

För ditt


går f(x) mot oändligheten när x → -3 (från "höger" på tallinjen). Detta eftersom ju mindre x+3 blir desto större blir ju f(x). Om x går mot -3 så kan kolla hur f(x) ändras ju närmre -3 x kommer. Om x är -2.5 blir f(x) 12.25. Vi kan sedan kolla vilket värde f(x) antar när x = -2.99. Då är f(x) = 308.94...

f(x) närmar sig således aldrig något värde utan växer oändligt när x går mot -3. Och när x väl är lika med -3 är f(x) odefinierad då man aldrig kan dela med 0 och därmed är f(-3) ointressant att prata om.

Länk till grafen av f(x): https://www.desmos.com/calculator/unvfqe3puc
Där kan du zooma ut och in och se hur f(x) går mot ±(beroende på från vilket håll) ∞ när x → -3.

Svar på frågorna är då

* Ett gränsvärde saknas om funktionen inte antar ett reellt värde när x → a (a = godtyckligt tal ur definitionsmängden). Detta handlar alltså om tillfällen då funktionen blir oändligt stort eller oändligt litet.
* Oftast brukar ett visst tal vara uteslutet ur definitionsmängden för att man just då delar med 0. Om man låter x gå mot detta tal så kommer man ju dela med något som går mot 0 (alltså något som blir väldigt litet) och att dela med något litet ger oss något stort. Därför går kvoten där nämnaren går mot 0 mot oändligheten och då finns vanligtvis inte gränsvärdet.