Citat:
Såvitt jag kan se har facit gjort ungefär samma sak som du har börjat med, men dessutom konstaterat att om det är givet att X₂ = x₂ så är X₂ inte längre stokastisk och täthetsfunktionen för X₂ är därför 1 för detta specifika värde x₂, vilket lämnar endast den gemensamma täthetsfunktionen i täljaren.
Som det står så är definitionen av det betingade oberoendet att denna gemensamma täthetsfunktion skall kunna skrivas som en produkt av en funktion i x₁ och en funktion i x₃, vilket är möjligt enbart då korstermen som innehåller x₁ och x₃ försvinner genom att dess koefficient i exponenten blir noll.
Jag har inte riktigt tid just nu för den andra uppgiften men jag kan ta en titt lite senare/i morgon.
Som det står så är definitionen av det betingade oberoendet att denna gemensamma täthetsfunktion skall kunna skrivas som en produkt av en funktion i x₁ och en funktion i x₃, vilket är möjligt enbart då korstermen som innehåller x₁ och x₃ försvinner genom att dess koefficient i exponenten blir noll.
Jag har inte riktigt tid just nu för den andra uppgiften men jag kan ta en titt lite senare/i morgon.
Citat:
Enligt definitionen som jag utläser den så är Y_n detsamma som den X-variabel vars observerade värde är större än n X-variabler och lägre än n X-variabler, dvs den observerade stickprovsmedianen bland de totalt 2n+1 X-variablerna.
Summorna U_n och L_n är summor av n indikatorvariabler som är 1 om Xᵢ > 0,5 + ε respektive om Xᵢ < 0,5 - ε. Ska Y_n kunna vara större än 0,5 + ε så måste det ju utöver den X-variabel som reflekteras av Y_n finnas minst n X-variabler som också är större än 0,5 + ε. Om Y_n ska kunna vara mindre än 0,5 - ε så måste det finnas ytterligare minst n X-variabler som också är mindre än 0,5 - ε.
Som jag kan se det så har du dock en poäng i att det verkar vara något skumt i facit. Eftersom U_n och L_n båda består av n termer som vardera antingen är 0 eller 1 så kan inte varken U_n eller L_n vara högre än n. Det absolut högsta värdet endera U_n eller L_n kan anta enligt definitionerna blir ju exakt n.
Man borde således behöva ändra definitionerna så att det istället är n+1 indikatorvariabler som summeras för att det ska vara meningsfullt att skriva sannolikheten att U_n eller L_n skall kunna vara större än n. Gör man denna modifiering så är dock resten av lösningen riktig så vitt jag kan se.
Summorna U_n och L_n är summor av n indikatorvariabler som är 1 om Xᵢ > 0,5 + ε respektive om Xᵢ < 0,5 - ε. Ska Y_n kunna vara större än 0,5 + ε så måste det ju utöver den X-variabel som reflekteras av Y_n finnas minst n X-variabler som också är större än 0,5 + ε. Om Y_n ska kunna vara mindre än 0,5 - ε så måste det finnas ytterligare minst n X-variabler som också är mindre än 0,5 - ε.
Som jag kan se det så har du dock en poäng i att det verkar vara något skumt i facit. Eftersom U_n och L_n båda består av n termer som vardera antingen är 0 eller 1 så kan inte varken U_n eller L_n vara högre än n. Det absolut högsta värdet endera U_n eller L_n kan anta enligt definitionerna blir ju exakt n.
Man borde således behöva ändra definitionerna så att det istället är n+1 indikatorvariabler som summeras för att det ska vara meningsfullt att skriva sannolikheten att U_n eller L_n skall kunna vara större än n. Gör man denna modifiering så är dock resten av lösningen riktig så vitt jag kan se.
Väldigt sent svar men tack för hjälpen!
