Citat:
3. En triangel i rummet har hörn i punkterna (1,0,2) och (0,-1,1) och (2,1,2). Bestäm triangelns sidor och vinklar.
Uppgift 2 orkar jag inte göra, dels för att sådana uppgifter är extrem tråkiga, och dels för att matrisräkning av alla dess slag är jobbigt över internet. Men för att det skall vara en bas så måste alla rad och kolonnvektorer vara linjärt oberoende. Det kan du ju börja med att kolla.
Jag kommer att placera en utav punkterna i origo, för att göra räkningarna mycket enklare. Eftersom denna triangeln kommer att ha samma vinklar och sidlängder då den endast flyttas så är det inga problem.
Punkten (1,0,2) vill jag förflytta till origo. För att triangeln skall vara likadan (kongruent) så måste jag subtrahera 1 ifrån alla x-koordinater och 2 ifrån alla z-koordinater, eftersom jag måste göra likadant överallt för att trianglarna skall vara kongruenta.
Punkterna:O: (0,0,0)
A: (0-1,-1,1-2) = (-1,-1,-1)
B: (2-1,1,2-2) = (1,1,0)
Då behöver vi hitta längden av vektorerna, jag börjar med |OA| och |OB|.
Slutpunkt minus startpunkt:OA = (-1,-1,-1)-(0,0,0) = (-1,-1,-1)
|OA| = √3
OB = (1,1,0)
|OB| = √2
AB = (1,1,0)-(-1,-1,-1) = (1,1,0)+(1,1,1) = (2,2,1)
|AB| = 3
Tänk på att vektorn AB inte ligger i själva triangeln, eftersom vektorerna vi räknar med här alltid börjar i origo. Därför var det bra att ha en av punkterna i origo, men i vilket fall så får man vara lite extra försiktig här, undersök gärna hur det beter sig i ℝ² och lös en triangeluppgift som denna fast då två dimensioner, du lär dig säkert en hel del. Det viktigaste är ju trots allt förståelse.
Nu skall vi bestämma vinklarna mellan dessa vektorer, som då kommer att vara våra vinklar i triangeln. Vi behöver bara finna två vinklar med hjälp av skalärprodukt, den tredje finner vi genom att veta att vinkelsumman i en triangel alltid är 180°.
Skalärprodukt:OB•OA = |OB||OA|·cos(α)
Där α är vinkeln mellan vektorerna
-2/√6 = cos(α)
arccos(-2/√6) = α
180°-arccos(2/√6) = α
α ≈144.736°
AB•OB = |AB||OB|·cos(β)
4/3√2 = cos(β)
β = arccos(4/3√2)
β ≈ 19.471°
180°-α-β = den tredje vinkeln.
180°-180°+arccos(2/√6)-arccos(4/3√2) = den tredje vinkeln.
arccos(2/√6)-arccos(4/3√2) = den tredje vinkeln.
Svar:
Sidornas längd: √3, √2 och 3
Vinklarna: 180°-arccos(2/√6), arccos(4/(3√2)), arccos(2/√6)-arccos(4/3√2)
. Nä men om du delar med -3 eller -4 så får du ju s = i båda ekvationerna, om det är det du vill ha. Annars bör du lära dig Gauss Elimination, är riktigt enkelt faktiskt.