Citat:
Ursprungligen postat av
pkj
Jag ska bestämma Maclaurin-utvecklingen till och med grad 4 med ressterm i ordoform(dvs O(x^5) till följande funktion: cos(x^2). Vet att cos x = 1 - x^2/2 + x^4/4! - ... +- x^(2k)/(2k)! + O(x^2k+2).
Då tar facit med cos x = 1 - x^2/2 + x^4/4! + O(x^6) men varför skriver de inte O(x^5) istället för O(x^6)? Sen undrar jag om man ska tänka så att man bara kvadrera x och inte hela bråken? I slutet sen så skriver facit om x^8/4! + O(x^12) till O(x^8), hur gör dom det? Vet att man bara behåller den lägsta ordo-termen om man vill förenkla och tar bort allt högre men varför försvinner 4! i nämnaren?
Varför inte O(x^5)? Därför att det bara finns med jämna exponenter i ditt problem. Cos(x) har bara med jämna exponenter
1-x^2/2+x^4/4!-...
och när du stoppar in x^2 istället för x överallt (det är det uppgiften säger att du ska göra!) Så blir det fortfarande bara jämna exponenter,
1-(x^2)^2/2+(x^2)^4/4!-... = 1-x^4/2+O(x^8)
O(x^8) står för ett polynom där alla termer har graden 8 eller högre. Eftersom det gäller för de slängda termerna så är det rätt att skriva så. Varför inte O(x^5)? Därför att ordotermen faktiskt ändå används för att förmedla information. Säg t ex att x=0.5. Då säger O(x^8) att felet på din approximation är i storleksordningen 0.5^8=0.0039.. vilket man ju inte behöver bry sig om om man ändå bara är intresserad av de första två decimalerna.
