Citat:
Ursprungligen postat av
Interjektion
Visa räkneregeln Om lim n→∞ a_n = A och lim n→∞ a_n = B, så är A = B.
Jag presenterade följande lösning för min lärare som tyckte att det jag framförde var lite av ett cirkelargument.
lim n→∞ a_n = A, lim n→∞ a_n = B
Flytta över A respektive B till VL så att likheterna blir lika med noll.
lim n→∞ a_n - A = 0, lim n→∞ a_n - B = 0
Sätt nu båda limuttrycken lika med varandra.
lim n→∞ a_n - A= lim n→∞ a_n - B
Alltså är A = B.
Min lärare föreslog att jag skulle använde mig av något epsilon- deltabevis för att visa att räkneregeln gäller. Följande definition skulle tydligen vara användbar:
lim n→∞ a_n = A
Givet att ε > 0 finns det ett N så att -ε < a_n - A < ε (kan även skrivas: A - ε < a_n < A + ε) för alla n > N. Något om motsats bevis nämndes också, det vill säga A ≠ B.
Hur ska jag gå tillväga för att kunna få fram ett starkare resonemang enligt ovanstående ledtrådar?
Jag skulle anta att A och B var olika (för en motsägelse).
Låt ε=|A-B|/2. Vi vet att ε>0 eftersom A och B är skilda. Eftersom {a_n}→A så
∃M∈ℕ:∀n∈ℕ:n>M: |a_n-A|<ε, och ett mycket snarlikt N finns för det andra gränsvärdet.
Sätt nu L=max{M,N}, så att du har ett värde på n där felet är tillräckligt litet. M.h.a triangelolikheten kan du skriva om |A-B| och dra slutsatsen |A-B|<|A-B| vilket ger motsägelse.
