*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Om du har:

a/b+c/d är den minsta gemensamma nämnaren b*d:


(a/b)*(d/d)+(c/d)*(b/b)=ad/bd+cb/bd=(ad+cb)/bd

Hej! Som avslutning på Matte D ska jag genomföra en redovisningsuppgift. Jag har valt en uppgift som övergår mitt förstånd lite grann och behöver därför vägledning, uppslag och hjälp med att lösa den! Den följer som lyder:

26. Superellipsen. Figuren visar en vanlig ellips. Den kan ritas med ett snöre av längden 2a som är fäst i två punkter, brännpunkterna (antar att ni klarar er utan bilden, säg till annars. Boken jag har heter Matematik 3000 för matte C och D och uppgiften återfinns på sidan 299.)

Ellipsens ekvation är

x^2/a^2 + y^2/b^2

där a är storaxeln och b lillaxeln.

Ellipsens area A = (pi)ab
För omkretsen finns ingen enkel formel

a) Ta reda på hur man kommer fram till ellipsens ekvation.

b) Välj några olika värden på a och b och beräkna sedan ett närmevärde på ellipsens omkrets (se faktarutan Båglängder)

c) Den indiske matematikern Ramanujan gav 1914 följande formel för approximativ beräkning av ellipsens omkrets:

pi(a+b) * (1+ 3lambda^2/10+(roten ur: 4-3lambda^2), där lambda= a-b/a+b

Undersök hur bra den är. Kan du själv hitta en enklare formel?

d) Om exponenterna i ellipsens ekvatin är större än 2 får vi en s.k. superellips. Piet hein (se s. 87) konstruerade trafikplatsen vid Sergels torg i Stockholm med följande ekvation som modell:

(x/23)^2,5 + (y/20)^2,5 = 1

Beräkna omkrets och area för denna superellips.

e) Undersök hur utseendet av en superellips ändras då exponenten n ökar. Vilket värde bör omkretsen närma sig då n växer obegränsat?

Behöver också hjälp med en redovisningsuppgift i MaD. Jag valde följande uppgift:

Maximal Låda. i de fyra hörnen på en rektangulär pappskiva klipper man bort lika stora kvadrater. Flikarna viks sedan upp så att vi får en öppen låda.

a) Välj några olika värden på den rektangulära skivans längd och bredd och bestäm sedan vilket värde på den bortklippta kvadratens sida x cx som ger maximal volym.


Jag har kommit så här långt, vill veta om jag är på rätt spår. Har klurat länge nu

b*d är en gemensamn nämnare, men inte nödvändigtvis den minsta.

Jaja

Då skall du lösa derivatan i likhet med noll, eftersom där derivatan är noll har vi extrempunkter. Men det verkar som om du har gjort fel någonstans, orkar inte titta vart så jag löser den själv istället. Din derivata skall vara en funktion som beror av x och är av grad 2. Efter som din volymfunktion är av grad tre.

Förenklar volymfunktionen och deriverar:

V(x) = x(12-2x)(4-2x)
V(x) = (12x-2x²)(4-2x)
V(x) = 48x-24x²-8x²+4x³
V(x) = 48x-32x²+4x³
V'(x) = 48-64x+12x²

Måste nu lösa derivatan i likhet med noll, för att finna två olika x som ger extrempunker. Troligen en minimipunkt och en maximipunkt.

Löser V'(x) i likhet med noll:

48-64x+12x² = 0
x²-16x/3+4 = 0
x₁ = (2/3)(4-√7)
x₂ = (2/3)(4+√7)

För att kolla vilken som är en maximipunkt så kollar vi följande:
Om V(x₁) > V(x₂)
Så är x₁ en maximipunkt, eftersom volymen för det x-värdet är större. Å ja x₁ var en maximipunkt.

Svar: Alltså när den bortklippta kvadratens sida är (2/3)(4-√7) lång, på en rektangulär pappskiva med längden 12 och bredden 4, så är volymen maximal när man viker ihop den enligt uppgift.

Skall lösa [∫(2 över, 0 under) (x^2+1)dx] + [∫(5 över, 2 under) (x^2-1)dx]


Här är det ju lätt att lösa integralerna separat. Men jag anar konjugatregeln och undrar om det finns något annat sätt eller trix för att lösa integralen? Kanske skriva ihop den till en integral eller något?

Nä enklast är att integrera delarna för sig, som med alla polynom.

Är den största gemensamma delaren till (9563,6205) = 73?

Ja, det är väl enklast. Tänkte om det gick att skriva ihop dem på något sätt ändå?

Ja. Vi ser att tex. 9563/6205 blir 131/85 vid delning av 73 i både täljare och nämnare. 131 är ett primtal vilket omöjliggör att det skulle finnas en större gemensam delare.

Talet 73 kan se svårt ut att få fram från början då även det är ett primtal (med tvilling minsann) men använder man sig av Euklides algoritm så är det ändå förhållandevis enkelt.

Det stämmer.

GCD(9563,6205) ifall du har en Texas Instrument grafräknare