*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

sqrt(533)/13 = sqrt(13*41)/13 = sqrt(41)*sqrt(13)/13 = sqrt(41)*sqrt(13)/(sqrt(13))^2 = sqrt(41)*1/sqrt(13) = sqrt(41/13)

Parametrisera med polära koordinater, x = rcosφ och y = rsinφ vilket ger z = r. Vi får alltså r(φ, r) = (rcosφ, rsinφ, r).

∂r/∂r = (cosφ, sinφ, 1)
∂r/∂φ = (-rsinφ, rcosφ, 0)

∂r/∂r × ∂r/∂φ = (-rcosφ, -rsinφ, r)

Arean: ∫_S dS = ∫∫_D |∂r/∂r × ∂r/∂φ| drdφ

Området D då? Undersök skärningskurvan mellan konen och enhetssfären.

{ x² + y² + z² = 1
{ z = √(x²+y²)

{ r² + z² = 1
{ z = r

Detta ger 2r² = 1 ⇔ r = 1/√2 och skärningskurvan mellan enhetscirkeln är alltså cirkeln med radie 1/√2. Vi får alltså området D: 0 ≤ r ≤ 1/√2 och 0 ≤ φ ≤ 2π.

∫_S dS = ∫∫_D r·√2 drdφ = √2 ∫_{0, 2π} dφ ∫_{0, 1/√2} r dr = ... = √2·2π·1/4 = π/√2

http://data.fuskbugg.se/dipdip/cos.jpg

Hur ska man tänka här för får verkligen itne rätt på denna uppgiften.

X = Z (lilafärgat segment)? - Antar det!

Sätt OA = OC = r, cirkelradien. Geomterin (med AOC rät) ger r = y√2.

Sektorn OAC upptar en kvarts cirkelyta: S = pi·r²/4 = pi·y²/2.
Triangeln OAC har ytan T = r·r/2 = y².

Alltså, Z = S - T = pi·y²/2 - y² = ( pi/2 - 1) y² och

y = √[ Z/( pi/2 - 1)].

Vad är viktigt att kunna i Matte D som de flesta brukar missa?

Jag vet inte om de flesta brukar missa det, men enhetscirkeln enhetscirkeln enhetscirkeln. Se till att du kan värden på sinus och cosinus för pi/6, pi/2, pi/3 och att du förstår vilka tecken sinus och cosinus har för vinklar i de olika kvadranterna. Alla tecken- och symmetrilagar för sinus och cosinus följer ganska enkelt ur enhetscirkeln, till exempel sin(-x) = -sin(x), cos(-x) = cos(x), sin(pi/2-x) = sin(pi/2 + x), sin(pi-x) = sin(x) och så vidare. Om du kan de tre standardvinklarna och några sådana räkneregler kan du få fram värden på sinus och cosinus för alla någorlunda "snälla" vinklar (det vill säga sådana som kommer på provet ).

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Unit_circle_angles_color.svg

Medan du pluggar enhetscirkeln ska du naturligtvis lyssna på Trigonometriska paraden med Matte Matik. Antingen blir du galen eller så lär du dig allt om dubbla vinklar... (Jag kommer fortfarande på mig själv med att nynna "och cos av två x är två cos-kvadrat x minus ett" när den formeln behövs .)

y= (1+x^2) * e^-7x i avsnittet om sammansatta funktioner.
Här vill de ha det till y'= (1+x^2) * e^-7x * (-7) + e^-7x * 2x

Det förklarar de med att de kombinerar dervingeringregeln för produkt med kedjeregeln.

F'(x)= f'(x)*g(x)+ g'(x)*f(x) produkt!

Kedjeregeln F'(x)= f'(g) * g'(x) Då är min fråga varför de gör på detta visset.

Förresten så använder man denna kombi bara när där är två termer? (x)^2 räknas inte som två? Fast man tar ut g(x) och f(x).
Eller x/z där man sätter f(x)= x/z och g(x)= z

Tack.

Jag tror att dina beteckningar kanske förvirrar dig. Vi har en funktion

f(x) = g(x)*h(k(x))

så dess derivata är

f'(x) = g'(x)h(k(x)) + g(x)h'(x)

men enligt kedjeregeln är h'(x) = h'(k(x))k'(x) så derivatan är

g'(x)*h(k(x)) + g(x)h'(k(x))k'(x).

I ord kan man kanske uttrycka det som att eftersom derivatan av h(x) = e^(-7x) är h'(x) = -7e^(-7x) (det har du väl inga problem med?), så är det det uttrycket för h'(x) man måste använda när man deriverar en produkt med h(x). Produktregeln ska ju gälla för alla deriverbara funktioner.

Du kan ju prova att derivera x^2 = x*x med produktregeln. Vad får du?

du kan tänka som så att du sätter in sin(v) istället för b i varje ekvation, så blir det kanske lättare att se. alltså:

1,
cos²(v)=1-b² ⇔ cos²(v)=1-sin²(v) likheten gäller för alla v enligt trigonometriska ettan och stämmer alltså.

2,
sin²(v)=1-b² ⇔ sin²(v)=1-sin²(v) ⇔ 2sin²(v)=1 tittar du sedan på cosinus för dubbla vinkeln, dvs cos(2v) inser du att detta kan skrivas som cos(2v)=0 och denna ekvation har 2 lösningar för 0<v<pi, alltså stämmer denna också.

3,
cos((π/2)-v)= b ⇔ cos((π/2)-v)=sin(v), likheten stämmer för alla v och påståendet är alltså sant.

4,
cos(2v)=1-2b² ⇔ cos(2v)=1-2sin²(v) titta åter på cosinus för dubbla vinkeln för att se att likheten stämmer för alla v.

Haha grym låt, sparade .svg-filen Unit_Circle men vettefan vad jag ska öppna filen med för program. Jag ska genast (imorgon) börja plugga särskilt på enhetscirckeln, var lite frånvarande på just de lektionerna. Några tips förutom enhetscirkeln?

Kompetenta webbläsare kan visa .svg direkt i webbläsaren. Annars kan du kika här. http://en.wikipedia.org/wiki/File:Unit_circle_angles_color.svg

Förutom enhetscirkeln är nog det bästa att ha med sig från D-kursen kedjeregeln. Ett bra minnestips är df/dx = df/dg dg/dx.

Öppna den i firefox