*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

((1+(1/n)^n) lim(n→-∞)

Svaret ska bli e, förstår dock inte hur?

Ett standardgränsvärde, vill du se ett bevis för det? Bör finnas väldigt många om du googlar det annars.

Man kan använda detta som definitionen av talet e.

På hur många sätt kan t siffror väljas i ett interval 1,...,n sådan att minst ett block med minst t är konsekutiva.

Om vi studerar basfallet där vi har valt 1234...e???????? (? är godtycklig siffra i intervallet), så har vi

{n-e \choose t-e}

Vidare har vi basfallet

?234...e(e+1)???????

Då dessa fall inte är disjunkta måste vi använda inklusion/exklusion.

Vi har (n-e) stycken basfall (translationer av ett block), som var för sig inte är disjunkta. Om e är litet i förhållande till t är t ex 1234...e???????? och ???(e+1)...2e???????? inte disjunkta. Det blir mycket att hålla reda på... någon bättre metod?

Helst vill jag finna ett enkelt uttryck för det exakta antalet.

Sätt f(x) = a^x där a är någon konstant, med derivatans definition:

f'(x) = lim {h → 0} (a^(x + h) - a^x)/h = lim {h → 0} a^x·(a^h - 1)/h

Ett intressant speciallfall då (a^h - 1)/h = 1, då är derivatan nämligen lika med funktionen.

lim {h → 0} (a^h - 1)/h = 1 ⇔ lim {h → 0} a^h - 1 = lim {h → 0} h ⇔ lim {h → 0} a^h = h + 1 ⇔ a = lim {h → 0} (h + 1)^1/h

Enligt definition låter vi a vara lika med detta tal e. Det ovan är ett så kallat standardgränsvärde. Gör du variabelbytet h = 1/t och låter t → ∞ får du: lim {t → ∞} (1 + 1/t)^t, på samma form du hade från början.

uppgiften som är här: http://data.fuskbugg.se/dipdip/Sk%E4rmklipp3.jpg

Det jag undrar är varför man har bytat plats på det som står inom det röda? För att en geometrisk summa ska det i ex täljaren vara kvoten^(antalet termen)-1 och i nämnaren kvoten-1, medans det i denna är 1-kvoten.

http://data.fuskbugg.se/dipdip/trig.jpg

Fattar inte riktigt hur man ska börja men kollar på enhetscirkeln. Får ja de till -sqrt2/2 men blir de plus då eftersom att de är ett minus tecken före och hur gör man sen?

Jag visar första delen av uppgiften. Resten gör du på samma sätt. Börja med att räkna ut kvadraten:

(cos(-5pi/4) + sin(-5pi/4))^2 = cos(-5pi/4)^2 + 2cos(-5pi/4)sin(-5pi/4) + sin(-5pi/4)^2

Nyttjar vi nu trigettan blir det:

= 1 + 2cos(-5pi/4)sin(-5pi/4)

Men 2cos(x)sin(x) = sin(2x) så uttrycket övergår i:

= 1 + sin(2*(-5pi/4)) = 1+sin(-5pi/2), men sin(-x)=-sin(x) så:
= 1 - sin(5pi/2), men 5pi/2 = 2pi + pi/2 så sin(5pi/2) = sin(pi/2)

Så 1 - 1 = 0

Ger att första delen av uttrycket är 0. Räkna ut på liknande sätt andra delen av uttrycket. Då kan du få på formen som det står att du ska ange.

Alternativ lösning: Om man kollar på enhetscirkeln kan man inse bland annat följande

cos(-x) = cos x
sin(-x) = -sin(x)
cos(pi + x) = -cos(x)
sin(pi +x) = -sin(x)

I den första parentesen hade vi

cos(-5pi/4) + sin(-5pi/4)

vilket enligt de två första raderna ovan är lika med

cos(5pi/4) - sin(5pi/4)

och enligt tredje och fjärde raden kan vi "backa" pi om vi byter tecken, så att uttrycket är lika med

-cos(pi/4) + sin(pi/4)

men eftersom sin(pi/4) = cos(pi/4) är detta identiskt 0.

I den andra parentesen har vi cos(-8pi/3) - sin(-8pi/3) = cos(8pi/3) + sin(8pi/3) = cos(2pi/3) + sin(2pi/3) = sqrt(3)/2 + 1/2. Kvadrerat fås (3 + 2sqrt(3) + 1)/4 = 1 + sqrt(3)/2.

På den första raden blir de inte någon kvadrat eftersom att de blir noll då eller?

om det istället skulle vara (cos13pi/4 + sin 13pi/4)^2 = (-cos(pi/4-sin (pi/4))^2 = (-1/sqrt2 - 1/sqrt2)^2 eller har ja tänkt fel?

0 blir kvadrerat.

Noll kvadrerat blir noll.
Det är korrekt, det är samma sak som (cos(5pi/4) + sin (5pi/4))^2, men notera att vi hade ett minustecken i uppgiften.

Precis http://data.fuskbugg.se/dipdip/uppf.jpg

Men ja tyckte de blev mycket mer komplicerat för då blir de ju inte noll i första så hur gör man då?