Citat:
Ursprungligen postat av
findusen
hur skulle ni lösa denna:
tripple integrate y dV over that part of the cube 0 =<, x,y,z, =< 1 lying above the plane y + z = 1 and below the plane x + y + z = 2
jag försökte rita upp detta. men det blev fruktansvärt kladdigt (testa själva, det blir inte till någon hjälp)
funderar istället matematiskt. om jag försöker hitta gränser.
tex om jag antar att denna är z-simple. så vet jag att z:as högsta värde är 1. kuben ska vara under planet x + y + z = 2
alltså typ x + y + 1 = 2. dvs det övre planet och kuben har samma z:värde i x + y = 1.
betyder detta att man ska integrera z från y till x + y? från y för att det ska vara över y + z = 1 och om z = 0 så har vi y = 1
[;
\\
\iiint y dV = \int_{x=0}^1 \int_{y=0}^1 \int_{z=1-y}^{2-x-y} y dz dy dx = \int_0^1 \int_0^1 \ y \int_{1-y}^{2-x-y} dz dy dx =
\\
\\
\int_0^1 \int_0^1 y \Big[z\Big]_{1-y}^{2-x-y} dy dx = \int_0^1 \int_0^1 y (1-x) dy dx =
\\
\\
\int_0^1 (1-x) \Big[\frac{y^2}{2}\Big]_0^1 dx = \frac{1}{2} \Big[x-\frac{x^2}{2}\Big]_0^1 = \frac{1}{4} ;]
