*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

För det första så är det här en trivial konsekvens av Catalans förmodan (som bevisades av Mihăilescu för några år sedan).


Men ett mer jordnära bevis för just det här specialfallet är som följer nedan. Beviset använder teorin om (den negativa varianten av) Pells ekvation.

För det första så är det ekvivalent att visa:

Låt x, y vara en lösning i positiva heltal av ekvationen

x² - 5y² = -1 (1)

så att y dessutom är en fempotens. Då är y = 1.


För att göra det, använder vi följande sats:

Sats: Låt D vara ett fixt positivt heltal som inte är en kvadrat. Antag att ekvationen

x² - Dy² = -1 (2)

har en lösning (x_1, y_1) i positiva heltal. Antag vidare att denna lösning är minimal i avseendet att om (x, y) också är en positiv heltalslösning till (2), så gäller att y ≥ y_0.

Definiera då (x_n, y_n) genom

x_n + y_n √D = (x_1 + y_1 √D)^n.

Då är (x_n, y_n) en lösning till (2) för n udda, och vidare ger detta alla lösningar i positiva heltal.


Beviset är elementärt, väldigt standard, men kräver att man bygger upp lite teori först, så det blir lite långt och jag tänker inte skriva ner det här. Men det (eller i varje fall alla ingredienser som behövs för det) borde tas upp i varje (något mer avancerad) bok om elementär talteori. Om nån är intresserad så kanske ni kan övertala mig om att gräva upp nån referens.


Hursomhelst, i fallet D = 5 är det trivialt att se att (x_1, y_1) = (2, 1) uppfyller premisserna i satsen. Så om vi då sätter

a_k + b_k √5 = (2 + √5)^(2k+1)

så ger (a_k, b_k) alla positiva lösningar till (1). Vi behöver därför bara kontrollera att b_k aldrig är en fempotens för k > 0.

Men detta är nu förhållandevis enkelt. T.ex. kan man visa rekursionsformlerna

a_(k+1) = 9a_k + 20b_k
b_(k+1) = 4a_k + 9b_k.

Nu ser vi att om vi reducerar mod n för något n, så kommer värdena på (a_k, b_k) mod n att upprepa sig cykliskt, eftersom det bara finns ändligt många värden dessa kan ta, och efterföljande värde bara beror på det närmast föregående. T.ex. kan vi räkna ut att mod 5 och mod 61 får vi


och sen upprepar sig mönstret cykliskt.

Men tabellen ovan visar att om b_k är delbart med 5, så är det också delbart med 61. I synnerhet så gäller att b_k aldrig kan vara en fempotens större än 1. Eftersom x = a_k, y = b_k ger alla positiva heltalslösningar till (1), så följer att ingen positiv heltalslösningar (x, y) existerar, med y en fempotens större än 1. Vilket var vad vi skulle visa.