*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Modulärt aritmetiskt ekvationssystem:

{x ≡ 1 (mod 11)
{x ≡ 1 (mod 13)
{x ≡ 1 (mod 14)

Eftersom SGD(11,13,14) = 1 så erhåller vi lösning.

Vi börjar uppifrån och ned:

x = 1+11n₁

1+11n₁ ≡ 1 (mod 13)
11n₁ ≡ 0 (mod 13)

Nu måste vi finna den mutliplikativa inversen till 11 (mod 13). Det kan man göra med Euklides algoritm, eller bara inse vilket heltal vi måste multiplicera hela relationen med, för att koefficienten (mod 13) skall vara kongruent med 1.

Beräknar multiplikativ invers:

13 = 11+2
11 = 2*5+1

1 = 11-5*2 = 11-5(13-11) = 11-5*13+5*11 = -5*13+6*11

Den multiplikativa inversen till 11 (mod 13) är 6, så vi multiplicerar hela kongruensrelationen med 6.

Fortsätter ekvationssystemet:

6*11n₁ ≡ 0*6 (mod 13)
n₁ ≡ 0 (mod 13)
n₁ = 13n₂

x = 1+11n₁
x = 1+11(13n₂)

Fortsätter sedan med den sista:

x ≡ 1 (mod 14)
1+11(13n₂) ≡ 1 (mod 14)
11(13n₂) ≡ 0 (mod 14)
n₂ ≡ 0 (mod 14)
n₂ = 14n₃

x = 1+11(13(14n₃))
x = 1+2002n₃
n₃∈ℤ

Eftersom x endast var definierad mellan 2000 och 3000, så är svaret 2003 klossar.

Svar: 2003 klossar

Snygg lösning! Tackar!

Det vet inte jag heller skall jag tala om för dig. Det är helt åt helvete jävla fel i alla fall.

Detta är rätt:
3^40 (mod 4) = -1^40 (mod 4)

eftersom 3-4 = -1

ett negativt tal upphöjt till ett jämnt tal är positivt.

Alltså är

-1^40 (mod 4) = 1 (mod 4)

Har ett par funderingar uppskattar ifall någon vill kommentera och eventuellt rätta till.

Den första uppgiften har med gränsvärde att göra.
I denna uppgiften gäller lim x->∞

Uppgiften såg ut så här (3^x+2 + x^3)/(3^x+2^x) Detta kan skrivas som

(3^x*3^2+x^3)/(3^x+2^x)

Jag inser att den dominerande termen är 3^x och delar med denna termen överallt och får då

(1*3^2 + (x^3)/(3^x))/(1+(2^x/3^x))

Och när x -> oändligheten så kommer även 2^x/3^x => 0 och (x^3)/(3^x) => 0

Alltså blir det endast 9 kvar! alltså när x-> mot oändligheten kommer talet gå mot 9



Uppgift nr 2 denna handlar om trigonometriska ekvationer

sin^2(x+pi/2)-1/(2sqrt3)*sin(2(x+pi/2))+cos^2(x+pi/2) = 5/4

sin^2(x+pi/2)+cos^2(x+pi/2)= 1 enligt trigonometriska ettan. Därför ersätter jag dessa två med en etta och får då:

1-sin(2(x+pi/2))/(2sqrt3) = 5/4

Multiplicerar in 2an in i SIN uttrycket och får då sin(2x+pi) men eftersom Sin(pi) = 0 så kan man stryka den och fortsätta med Sin(2x) HÄR ÄR JAG OSÄKER.

1-sin(2x)/(2sqrt3) = 5/4

sin(2x)/(2sqrt3) = 5/4-1

sin(2x)/(2sqrt3) = 1/4

sin(2x) = (1/4)(2sqrt3)

Sin(2x) = 1/(sqrt3)

2x = pi/3 + 2*pi*n (där N är ett heltal)

x= pi/6 + pi*n

Stämmer detta? Hur får jag ut den andra lösningen?

Hänger ändå inte med. Hur kan du skriva om 3^40 till -1^40 ?

Du menar alltså 3^(x+2), inte då 3^x + 2?

Jag tycker det är en bra lösning. Jag hade inte gjort på exakt det sättet dock, men alla sätt är ju bra utom de dåliga.

Uppgift nr 2 denna handlar om trigonometriska ekvationer

sin^2(x+pi/2)-1/(2sqrt3)*sin(2(x+pi/2))+cos^2(x+pi/2) = 5/4

sin^2(x+pi/2)+cos^2(x+pi/2)= 1 enligt trigonometriska ettan. Därför ersätter jag dessa två med en etta och får då:

1-sin(2(x+pi/2))/(2sqrt3) = 5/4

Nej så får du inte göra. Eftersom det är inne i argumentet av en enda sinus funktion. Hade du istället haft sin(pi)+sin(2x) så hade du kunnat göra så, sinus är dock ej linjär.

Men du vet att sin(2x+pi) = sin(pi-2x-pi) = sin(-2x)

eftersom sin(v) = sin(pi-v)
Sedan vet man också, eftersom sinus är en ojämn funktion att sin(-v) = -sin(v).

Då är alltså:
sin(-2x) = -sin(2x)

bumpar, då jag är i ganska desperat behov av att lösa denna ikväll och inte vet hur jag ska gå tillväga. ;(

tacksam för svar!

Ett par exempel:

* 3 (mod 4) = -1 (mod 4)
* 3*1 (mod 4) = -1*1 (mod 4)
* 4x (mod 4) = x (mod 4)

Du får modulera termer var för sig separat, även faktorer var för sig. Här väljer jag då att modulera 40 stycken treor var för sig till minus ett. (ofta är det bra att modulera ner till 1 eller -1, av uppenbara anledningar).

hur kan sqrt(2)^13 bli 62*sqrt(2) ?

kan någon förklara det för mig?

Ja du har fattat rätt på den första!

Jag får tecken fel och med din förklaring så får jag nu nog rätt tror jag! Men förstod inte detta
sin(2x+pi) = sin(pi-2x-pi) = sin(-2x)

Stämmer denna uträkning? Hur tror du den hade bedömts?

sin^2(x+pi/2)-(1/(2sqrt3))*sin(2(x+pi/2))+cos^2(x+pi/2) = 5/4

Enligt trig ettan cos^2(x+pi/2)+sin^2(x+pi/2) = 1 alltså ersätter dom med 1an

1- (1/(2sqrt3))*sin(2(x+pi/2)) = 5/4

- (1/(2sqrt3))*sin(2(x+pi/2)) = 1/4

- sin(2(x+pi/2)) = (2sqrt3))/4

- sin(2(x+pi/2)) = sqrt(3)/2

Hur hade du fortsatt här? Ska jag multiplicera in 2an och vilken bevisföring ska man föra för att visa att detta är en ojämnfunktion?

Vi börjar då:

sin²(x+π/2)-1/(2√3)*sin(2(x+pi/2))+cos²(x+π/2) = 5/4
1-1/(2√3)*sin(2(x+pi/2)) = 5/4
1-sin(2x+π)/(2√3) = 5/4
1-sin(π-2x-π)/(2√3) = 5/4 [eftersom sin(v) = sin(π-v)]
1-sin(-2x)/(2√3) = 5/4
1+sin(2x)/(2√3) = 5/4 [eftersom sin(-v) = -sin(v)]

Förenklar nu bara koefficienter:

sin(2x)/(2√3) = 5/4-1
sin(2x)/(2√3) = 1/4
sin(2x) = (2√3)/4
sin(2x) = √3/2

Drar arcsin på båda sidor:

arcsin(sin(2x)) = arcsin(√3/2)
2x = π/3+2πn
x = π/6+πn
eller
π-2x = π/3+2πn
x = π/3+πn
Där n, heltal.

Svar:

x₁ = π/6+πn
x₂ = π/3+πn
Där n, heltal

sqrt(2) är samma sak som 2^0.5 alltså kan du skriva de som 2^0.5*13 = 2^6 * 2^0.5

2^0.5 = sqrt(2) ty någonting upphöjt te 0.5 är samma sak som roten ur