Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
En bunt frågor...
1. Visa med induktion att 1*2*3*...*(n-1) < (n/2)^(n-1) för n=>3.
Steg, bas hit å dit. Anta att
(1) 1*2*3...*(k-1)=(k-1)! < (k/2)^(k-1)
är sant. Då är (2) k! < ((k+1)/2)^k. Men k! = k(k-1)! vilket i sin tur är < k(k/2)^(k-1). Det gäller alltså att
(3) k! < ((k+1)/2)^k och
(4) k! < k(k/2)^(k-1)
Om k(k/2)^(k-1) <= ((k+1)/2)^k så är (2) visad. Min fråga är då, hur man avgör det. Hemma kan jag ju rita upp i ett grafprogram och då är det tydligt att VL < HL, men jag fick inte så när jag försökte lösa det.
k(k/2)^(k-1) = k^k/2^(k-1) <= (k+1)^k / 2^k
2k^k <= (k+1)^k
2exp[k ln k] <= exp[k ln(k+1)]
2 ln k <= ln(k+1) Falskt. Så hur göra?
Sista steget är fel. Ska bli
ln k + (ln 2)/k ≤ ln (k+1)
vilket är sant, t.ex. för att det är ekvivalent med 2 ≤ (1 + 1/k)^k vilket man kan verifiera t.ex. genom att högerledet är en avtagande växande funktion i k, och olikheten gäller för k = 3.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
2. Bestäm alla heltal som ger resten 8 vid divison med 17 och resten 11 vid division med 21 (263+357k, k heltal).
Hur göra?
Googla "Chinese remainder theorem", "solving systems of linear congruences" eller liknande.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
3. Bestäm antalet element i sigma [tillhör] S_6 som uppfyller sigma = sigma^-1 (76).
Vad betyder detta ens?
Väldigt oklart, eftersom det som jag ser det inte finns en permutation (76) i S_6. Fanns det mer kontext till uppgiften?
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
4. Bestäm antalet moniska irreducibla andra-, tredje- och fjärdegradspolynom i Z_2[X]. (1, 2 resp 3)
Som ovan.
Hur många polynom, med
(i) grad två, tre resp fyra
(ii) koefficienter i Z_2 (kroppen med två element)
(iii) högsta koefficient 1 (moniska) (alla nollskilda polynom över Z_2 är moniska, så det här säger inte så mycket)
(iv) som inte kan skrivas som produkten av polynom med lägre grad (irreducibla)
finns det?
För detta finns i och för sig en generell formel, men här kan det vara meningen att du bara ska kolla alla moniska polynom, en efter en. Ett smartare sätt är dock att utnyttja att Z_2[X] är en UFD, så alla icke-irreducibla moniska polynom kan skrivas på ett unikt sätt som produkten av irreducibla moniska polynom av lägre grad.
