*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Lös differentialekvationen

y'-2y=x

Då tänkte jag att integrerande faktor blir Ce^(-2x) men enligt facit skulle det bli Ce^(2x) - utan minustecken alltså? Fast det ska väl iofs vara den biten framför ett X som är IF?
Sen ska man väl göra något ekvationssystem för att få fram partikulärlösningen, right? Men jag fattar inte riktigt hur man gör. Kan någon hjälpa mig?

När du har en differentialekvation av den här typen så ansätter man att y=e^(rx) för något r är en lösning. Eftersom y' = re^(rx) = ry och y'' = r^2 e^(rx) = r^2y blir ekvationen

2r^2y-8ry+8y=0

om du förkortar bort y får du

2r^2-8r+8=0

lös för r så får du att r=2 är den enda lösningen. Ifall du hade fått två olika lösningar r och q så hade lösningarna till diffekvationen varit ae^(rx) + be^(qx), där a och b är konstanter. Om du bara har en lösning till andragradsekvationen så blir lösningarna ae^(rx) + bxe^(rx). Wikipediaartikeln förklarar väl!

http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_equation_(calculus)#Distinct_real_r oots

y' - 2y = x

Multiplicera båda sidor med e^(-2x) så får du att

y'*e^(-2x) - 2y*e^(-2x) = xe^(-2x) ⇔
d/dx (y*e^(-2x)) = xe^(-2x)

Integrerar båda sidor med avseende på x och få

y*e^(-2x) = -x*e^(-2x)/2 - e^(-2x)/4 + C

för någon reell konstant C. Detta ger om du multiplicerar båda sidor med e^(2x) att

y = -x/2 - 1/4 + Ce^(2x)

Vilket alltså är alla lösningar till ekvationen. För att bestämma just vilken lösning som efterfrågas så måste man ha mer information.

Det stämmer att IF är e^(-2x), men kom ihåg att 1/e^(-2x) = e^(2x). Det är biten framför y som ger den integrerande faktorn.

y'-2y = x
e^(-2x)(y'-2y) = xe^(-2x)
d/dx(y*e^(-2x)) = xe^(-2x)

integrera!

y*e^(-2x) = -(1/4) e^(-2x) (1 + 2 x) + C

dividera med e^(-2x), vilket är samma sak som att multiplicera med e^(2x) eftersom att 1/e^(-2x) = e^(2x)

y = -(1/4) (1 + 2 x) + Ce^(2x)

Där C är en reell konstant. Om du har ett begynnelsevillkor så kan du bestämma C. Om ditt begynnelsevillkor t.ex. är att y(0)=1 stoppar du helt enkelt in x=0 i ekvationen ovan:

1 = y(0) = y = -(1/4) (1 + 2*0) + Ce^(2*0) = -1/4 + C
C - 1/4 = 1
C = 5/4

Aha
Så den integrerande faktorn är alltså e^(-2x) som vi sen använder oss av alltså.. Aha då fattar jag..

Fast var fick du e^(-2x)/4 ovan ifrån? Resten är jag med på, förutom osäkerheten när man byter ut y' till d/dx, dx/dx eller d/dy osv.. Hur vet man detta?

Yepp, den integrerande faktorn är e^(-2x).

e^(-2x)/4 kommer från när jag integrerar. Med hjälp av partiell integration får man

∫xe^(-2x)dx = -xe^(-2x)/2 + 1/2 ∫ e^(-2x)dx = -xe^(-2x)/2 - e^(-2x)/4 + C

Man har alltid att y' = dy/dx (så länge det är x man deriverar med avseende på), dom andra alternativen kan du inte byta ut den mot. Är det möjligen första steget jag gör som du funderar över? Isådana fall är det bara produktregeln för derivering man använder

d/dx (y e^(-2x)) = y' e^(-2x) - 2y e^(-2x)

Men åh, såklart, där är ju x:et där framför...
Den där partiella integrationen igen, kommer aldrig ifrån den

Men nu när jag tittade så fattade jag faktiskt denna. Var först osäker på x:et, men det är ju inte -xe^(-2x) som är primitiv till xe^(-2x) utan det är ju e^(-2x) man tittar på och tar primitiv till och sen behåller man ju x:et Sen minus halv gånger integralen [...]
Har fortfarande svårt att veta när jag får plocka ut saker utanför integralen, though

Men jag fattade den nu iallafall

EDIT:
Den här verkar vara typ likadan nästan, men jag fastnade.. Bah.. :
Bestäm allmän lösning till
(1-x)y' - 2y = x^3 , x > 1

Ska man först dela med (1-x) och sen ta IF eller hur ska man börja?

Du får faktorisera allt som är oberoende av variabeln som man integrerar med avseende på. Låt f, g och h vara tre stycken funktioner.

∫f·g·h dx

Om f och g beror på x (notera dx i integralen) så kan dessa ej faktoriseras. Men om funktionen h är oberoende av x (eftersom vi integrerar med avseende på x) kan h faktoriseras.
Därmed gäller följande likhet:

∫f·g·h dx = f∫g·h dx

Jo, jag har på sistone fattat att den där h inte påverkar själva integrationen faktiskt. Men det kommer nog mer och mer...

Vet du hur jag ska börja på diffen i förra inlägget förresten?

Så det går inte att lösa med PQ-formeln?

Jo, det går bra det.

2r^2-8r+8=0 <-- Förkorta bort tvåan ger
r^2-4r+4=0

Här ser du att det är väldigt lätt att kvadratkomplettera:
(r-2)^2

Och då ser du ju direkt att enda roten är 2.

Men klart att du kan använda PQ-formeln också:

r = 2 +/- (roten ur((-4/2)^2 - 4)
r = 2 +/- (roten ur((-2)^2 - 4)
r = 2 +/- (roten ur(4 - 4)
r = 2 +/- (roten ur (0))
r = 2

Tadaaa. Alltså bara en rot

Låt A vara en integraldomän och K=Quot A, med u algebraisk över K. Då finns ett c s.a ca är integral över A.

Beviset är att det finns en ekvation sum_{k=0}^n a_k u^k = 0, och att om man multiplicerar den med a_n^{n-1} så blir ekvationen en integralekvation (hm...) för a_n u över A. Enkelt nog antar jag, men har ändå problem här. Till att börja med verkar det konstigt att säga att det finns ett icke-moniskt polynom med u som rot, eftersom det till ett algebraiskt element hör ett minimalt moniskt polynom. Vidare, antag att sum a_k u^k = 2u^n + 1/3, jag hittar förstås på men detta är bara för illustration. Så, vi ska alltså multiplicera denna ekvation med 2^(n-1), vilket ger (2u)^n+1/3. Fint det, men detta uppnår inte det önskade resultatet, nämligen att polynomet ska ha koefficienter i ringen, i det här fallet heltal.

"Rätt" sätt är ju att ta 2u^n+1/3=0, multiplicera med 3 => 6u^n + 1 = 0 och NU multiplicera allt med 6^(n-1) => (6u)^n + 1=0. Jag antar att min invändning är att ja, påståendet stämmer, men beviset är inkorrekt. Jämför också med hur man transformerar ett polynom i Q[x] till ett i Z[x] utan att påverka dess Galoisgrupp.