*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

halloj!

Bestäm de punkter på kurvan y = (1+x^2)^-1 för vilka tangenten till kurvan i punkten går genom (0,1).

f(x) = (1+x^2)^-1
Derivera m.h.a. kedjeregeln
f'(x) = -1*(1+x^2)^-2*(2x) = -2x/(1+x^2)^2

Kalla sätt x = a och räkna sen ut värdet på a med hjälp av enpunktsformeln som säger
f(x)-f(a) = f'(a)(x-a)

Vi vet att f(0) = 1 och x = 0
1-f(a) = f'(a)(-a)

Lös nu ut a då vi även vet att
f(a) = (1+a^2)^-1
f'(a) = -2a/(1+a^2)^2

Då kan vi lösa ekvationen
1-f(a) = f'(a)(-a)
1-(1+a^2)^-1 = -2a/(1+a^2)^2*(-a)

Där vi har lösningarna a = 1, a = 0, a = -1. Det är alltså dessa värden för x vi söker, där tangenten går igenom (0,1)

Jahaja.

y = (1+x^2)^-1
y' = -2x(1+x^2)^-2

Tangenten for punkten x' har vid punkten x vardet t.

"y=m+kx" heter det ju

t(x) = m + y'(x')x

x' dy(x)/dx = y(x') - m
m=y(x') - x' dy(x)/dx

t(x) = m + y'(x')x
t(x) = y(x') - x' dy(x)/dx + y'(x')x =
t(x) = y(x') + (x-x')dy(x)/dx (For ovrigt taylor expansionen runt x', vilket verkar rimligt)

t(x) = y(x') + (x-x')y'

y = (1+x^2)^-1
y' = -2x(1+x^2)^-2

t(x) = y(x') + (x-x')y'
t(x) = (1+x'^2)^-1 + -(x-x')2x'(1+x'^2)^-2

(x,y)=(0,1) ger

t(x) = (1+x'^2)^-1 + -(x-x')2x'(1+x'^2)^-2
t(0) = (1+x'^2)^-1 + -(0-x')2x'(1+x'^2)^-2 = 1
(1+x'^2)^1 + 2x'^2 = (1+x'^2)^2
1 + 3x'^2 = 1+2x'^2 + x'^4
x'^2 = x'^4

Detta galler for x'=0 (rimligt, da (0,1) inte bara ar pa tangenten utan aven pa kurvan) och da x==-1.

Pa denna bild:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2Bx%5E2%29%5E-1
verkar det rimligt att det finns tva symmetriska punkter ganska nara 1 dar det galler.

Låt a > 0.

(a) Använd l’Hopitals regel för att visa
lim x→0 x^a ln(x) = 0.

(b) Genom att sätta x = ln(t) i uppgift 1(a), visa att

lim x→−∞ |x|^a e^x = 0

Jag skulle behöva hjälp med att lösa uppgift b förstår inte riktigt upplägget och hur man ska lösa den.

Tack på förhand!

Hej!

Har en liten fråga angående en diff-ekv från en gammal tenta:

Lös df/dx -3(df/dy) = 0 genom att införa u = 3x + y och v = x

Jag har mha kedjeregeln kommit fram till att:

dz/dv = 0

Hur fortsätter jag? Är helt ny vad det gäller diff-ekvationer känns det som...


:-D

Om ursprungsfrågan frågar efter f så använd f och inte z. Det ska således stå df/dv = 0 som är korrekt. Nu kan vi tänka att om vi har en funktion f(u,v) = något så när vi tar df/dv så är u konstant så ALLA funktioner som bara beror av u försvinner. Alltså finns en term A(u) med.

Vad ger derivatan 0? Jo, alla konstanter, så vi ska ha f = A(u) + C där C är en konstant, nu är A(u)+C också en funktion B(u) som bara beror av u. Således är lösningen till differentialekvationen f(x,y) = B(3x+y) där B är en funktion som är deriverbar med avseende på x och y minst en gång. Kontrollerar vi får vi:

df/dx = 3*B'(3x+y)
df/dy = B'(3x+y)

Vilket insatt ger:

3*B'(3x+y) - 3*B'(3x+y) = 0. Dvs det finns väldigt många lösningar till differentialekvationen, till och med oändligt antal ...

Jag gjorde en fuling och antog att dessa trianglar också var likbenta (baserat på mina egna erfarenheter med denna typ av uppgifter). Men om det inte framgick i problembeskrivningen så förstår jag om du inte är tillfredsställd med min lösning. Det finns dock en annan något mer algebraisk lösning men då måste jag fortfarande göra en mindre fuling och anta att att transversalen är parallell med BC (vilket jag iofs antog tidigare också).

Nåja, den andra lösningen bygger på likformighet. Här är en ny bild: http://tinypic.com/r/2zgd72a/6

Om DE är parallelltransversalen till triangeln ABC så är ABC likformig med ADE. Detta betyder att förhållandet mellan alla motsvarande avstånd är detsamma. Då kan vi ju räkna ut DE:

Låt DE = y. Då gäller: x/(8-x) = y/12. => y = 12x/(8-x). Genom substitution finner vi alltså att den sökta arean är: ((12x/(8-x))*(8-x))/2 = 12x/2 = 6x.

Inser att denna lösning är bättre, då den inte bygger på samma konstiga antaganden. Du får förlåta mig, hoppas allt stämmer den här gången. Och hoppas du fick ut något i alla fall av att sätta fingret på vad som var dåligt med den förra lösningen!

Båda trianglarna är likbenta enligt uppgiften, som för övrigt lyder som följer.
"En likbent triangel har sidorna 10 cm, 10 cm och 12 cm. I triangeln inskrivs en ny likbent triangel som ska ha så stor area som möjligt. Bestäm sidorna i den inskrivna triangeln."
Alltså finns det mer till uppgiften än jag förtäljt, men utöver att skriva en funktion för triangeln utgör uppgiften som sådan ingen svårighet för mig, så jag såg ingen anledning att berätta om det.

Men då trianglarna är likbenta borde väl din första lösning fungera? Dock förstår jag fortfarande inte hur du kan dela upp halva basen i två delar och få en del som har bredden 3 utan vidare.

I min andra lösning gjorde jag bara det i den stora triangeln. I geometrin så är det helt okej att göra så, jag beskriver varför det fungerar det i tre steg.
1) Välj mittpunkten på sträckan BC och dra den linje som går genom punkten och vertex A, då delar du ju såklart BC i två lika delar (per definition).
2) Nu har du delat upp triangeln i två kongruenta trianglar (genom SSS-postulatet).
3) De nya vinklarna längs BC i den nya triangeln är supplementvinklar, men eftersom trianglarna är kongruenta måste båda vara räta vinklar - med andra ord, du har dragit höjden i triangeln och mittpunktsnormalen till BC.

Beräkna:

lim x→-1 sin(x²-1) / x+1

Har ingen aning om hur jag ska gå tillväga. Tacksam för svar!

Antar att det ska stå sin(x²-1)/(x+1)

sin(x²-1)/(x+1) = (x-1)sin(x²-1)/(x²-1)
lim x→-1 (x-1)sin(x²-1)/(x²-1) = (-1-1)*1 = -2

Tack så hemskt mycket.