Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
Låt S vara icke-tom delmängd av R^n. Visa att S är konvex omm för alla k>1 följande är sant: x1...x_k i S ger att Sum m_i x_i är i S, med Sum m_i = 1, m_i =>0.
Jag har försökt använda induktion på ena implikationen, P="om S är konvex och x1...x_k är i S så är Sum m_i x_i i S". P(2) är sann eftersom S är konvex. Antag P(k-1). Eftersom S är konvex så behöver jag visa att om m är i [0,1], så är... tja, här blir jag osäker. Jag vet inte om jag behöver visa att m + (1-m) + Sum m_i = 1 (uppenbarligen falskt) eller om (1-m)+m*Sum m_i = 1 (uppenbarligen sant)? I vilket fall som helst följer det hela inte av induktion, då jag har reducerat fallet till k=2 igen, så här mer explicit:
Låt alltså Sum{i=1,k-1} m_i x_i vara i S och Sum m_i = 1. Låt m tillhöra [0,1], så att vi behöver visa att m Sum{-,k-1} m_i x_i + (1-m)x_k är i S. Sum m_i x_i är någon ny vektor, säg x, så att vi kan skriva om till mx+(1-m)x_k, vilket är i S eftersom S antags vara konvex.
<= är trivial. Bara specialisera till k = 2.
=> är något besvärligare, men inte mycket.
Givet:
k Є N, k > 1; x_1, ..., x_k Є S.
Påstående:
Om ∑_{j=1}^{k} m_j = 1, där m_j ≥ 0, så gäller ∑_{j=1}^{k} m_j x_j Є S
Basfall:
Då k = 2 gäller ∑_{j=1}^{k} m_j x_j = m_1 x_1 + (1-m_1) x_2 Є S direkt genom definitionen av S konvex.
Induktionssteg:
För fixt godtyckligt k, antag att påståendet gäller för k-1, mer specifikt antar vi att
∑_{j=1}^{k-1} m´_j x_j Є S gäller om ∑_{j=1}^{k-1} m´_j = 1.
Sätt nu M = ∑_{j=1}^{k-1} m_j och m´_j = m_j / M.
Då gäller ∑_{j=1}^{k-1} m´_j = 1 och alltså enligt induktionsantagandet
X ≡ ∑_{j=1}^{k-1} m´_j x_j Є S.
Vidare gäller 0 ≤ M ≤ 1 och m_k = 1 - M, så
∑_{j=1}^{k} m_j x_j = (∑_{j=1}^{k-1} m_j x_j) + m_k x_k
= M X + (1-M) x_k
Є S eftersom X Є S, x_k Є S och S är konvex.
