*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Ta en titt på 5) igen då, den med cirkeln.

Tack, det var 2) och 5) som var rätt.

C^2

blev lite förvirrad av dina uträkningar och undrar om du skulle kunna förtydliga det lite?

Vilken svår uppgift! Men den skall vi nog kunna knäcka skiten ur. Först måste vi börja med att finna våra integrationsgränser, och vi integrerar ju i x-led. De finner vi genom att hitta var funktionerna skär varandra.

Jag namnger funktionerna mer passande:

f(x) = -2x/3+6
g(x) = 3
h(x) = kx+m, h(3/2) = 5

Funktionen h har ett randvillkor. Det är att h(3/2) = 5, eftersom vi vet att punkten (3/2,5) existerar på h. Skärningspunkternas x-värden till funktionerna ges genom att lösa ekvationen där de är lika med varandra, eftersom två funktioner skär varandra där och endast där de är lika med varandra.

Här nedan skall jag börja med att räkna ut skärningspunkternas x-värden.

x-värdet till skärningspunkten mellan f och g:

f(x) = g(x) ⇔
-2x/3+6 = 3 ⇔
x₁ = 9/2

Skärningspunkten mellan f och g är alltså (9/2, 3).

x-värdet till skärningspunkten mellan f och h:

f(x) = h(x) ⇔
-2x/3+6 = kx+m, 3k+2 ≠ 0 ⇔
x₂ = -3(m-6)/(3k+2)

3k+2 får ju inte vara 0, för vi kan inte dividera med noll. Eller geometriskt sett, f och h kan aldrig skära varandra om de har samma lutning eller skär varandra oändligt många gånger. Men här har vi ju x-värdet för skärningen mellan f och h.

x-värdet till skärningspunkten mellan g och h:

g(x) = h(x), k ≠ 0 ⇔
x₃ = (3-m)/k

Här är x-värdet för skärningen mellan g och h.

Viktigt är att vi integrerar från ett mindre x-värde till ett större x-värde. Och att integranden i integralen är "övre minus undre funktion". Vi måste ta reda på vilket x-värde som är minst. Men problemet vi har här är att x beror på både m och k! Det gillar vi inte. I gymnasiet så är vi jättedåliga på att hantera funktioner som beror på flera variabler, därför måste vi hitta ett sätt att uttrycka m i termer av k eller vice versa. Jag tänker då genast på randvillkoret vi fick innan som anger information om funktionen h.

Randvillkoret h(3/2) = 5 ger oss att:

5 = 3k/2+m

Eftersom jag stoppade in y- och x-värdet i ekvationen h(x) så fick jag det ovan. Jag löser då ut m och resultatet kan man se nedan.

m = 5-3k/2

Vi tittar då på de olika skärningspunkterna som vi redan har beräknat fram.

x₂ = -3(m-6)/(3k+2)
x₃ = (3-m)/k

Om vi stoppar in m-värdet får vi.

x₂ = 3/2
x₃ = 3/2-2/k

Det är inte konstigt att x₂ är oberoende av k- och m-värde. Eftersom punkten (3/2, 5) ligger på både h och f. Därför vet vi skärningspunkten exakt och det är alltså 3/2. Nu kom jag såklart på att detta borde jag insett tidigare om jag faktiskt hade ritat upp hur allt ser ut. Det vill säga att de har ju redan en skärningspunkt och det var ju punkten (3/2, 5).

Vi har i alla fall skärningspunkternas x-värden:

x₁ = 9/2 = 4.5
x₂ = 3/2 = 1.5
x₃ = 3/2-2/k

Vi ser då att x₃ varken har ett största eller ett minsta värde (kan inses genom att derivera), vilket inte är konstigt att inse om man kanske illustrerar det hela geometriskt. Skärningspunkten där x₃ är kan vara både den största, den minsta och den mitt emellan.

Vi står nu då inför ett antal val. Att bestämma att x₃ är det största utav x-värdena. Dvs skärningspunkten mellan g och h har det största x-värdet. Detta kan vi göra och se om en lösning finns. Om det inte finns så spelar det mindre roll, då är det bara att prova en annan. Men jag är extremt säker på att en sådan lösning finns. Jag skall illustrera i en bild hur jag tänker.
http://i46.tinypic.com/20uojeq.png
Här är ju x₃ det största skärningsvärdet. Jag är säker på att det går att välja k- och m-värde till funktionen h på ett sådant sätt att arean av den triangeln kan bli lika med 3. Notera att k-värdet till funktionen h kommer att direkt välja m-värdet och vice versa. Eftersom h måste "rotera" kring punkten (3/2, 5). Väljer vi alltså ett k-värde så väljs automatiskt ett m-värdet och vice versa.

Nu när vi också har en bild så är det lätt att avgöra "övre minus undre" funktion. Annars hade vi fått lösa det algebraiskt men nu är det bara att titta och identifiera.

Vi skall då beskriva arean med hjälp av integraler:

∫_x₂^x₁ h(x)-f(x) dx + ∫_x₁^x₃ h(x)-g(x) dx = 3

Titta noggrant på bilden jag ritade och jämför med hur jag ställde upp integralerna. Från x₂ till x₁ och sedan den andra integralen från x₁ till x₃. I bilden som är ritad jämförde jag övre minus undre funktion bara genom att titta på bilden och identifiera. Ytterligare information är att vi vet att arean skall vara tre så kan vi sätta integralerna i likhet med talet 3.
Nu förenklar vi ännu mer:

∫_(3/2)^(9/2) h(x)-f(x) dx + ∫_(9/2)^(3/2-2/k) h(x)-g(x) dx = 3

Vad jag också vill göra, innan jag går vidare. Är att förenkla h(x) ännu mer. Innan vi stoppar in h(x) i hela baletten. Men nu är i alla fall integrationsgränserna explicit utskrivna.

Vi vet sedan innan att:

m = 5-3k/2

Det fick vi ju givet av randvillkoret som var att h(3/2) = 5. Utöver det så vet vi ju vad vi bestämde h(x) att vara från början, och det ser vi nedan.

h(x) = kx+m

Då är

h(x) = kx+5-3k/2 = k(x-3/2)+5

Vi kan nu stoppa in detta i våra integraler:

∫_(3/2)^(9/2) k(x-3/2)+5+2x/3-6 dx + ∫_(9/2)^(3/2-2/k) k(x-3/2)+5-3 dx = 3

Om man löser integralerna så får man fram en ekvation uttryckt i k. Löser vi den ekvationen så får vi värdet på k, och då får vi även värdet på m. När k och m är bestämda så vet vi exakt hur funktionen h ser ut och uppgiften är löst.

Mvh

Om man ritar upp det där så ser man att höjden på triangeln är 2. Nu vill vi ha basen, den måste självklart vara 3. Eftersom vi då får arean 2*3/2 = 3.

Om vi löser y1 = y2 så får vi att de skär varandra i (9/2, 3) så alltså ska våran andra linje gå genom punkterna (9/2 - 3, 3) = (3/2, 3) och (3/2, 5). Så alltså har vi att x = 3/2 är den tredje linjen.

Ett annat alternativ är att välja så att den går genom punkten (9/2 + 3, 3) = (15/2, 3) och (3/2, 5).
Då får vi att y = 4/(3 - 15) (x - 3/2) + 5 = -x/3 + 11/2

skulle behöva lite hjälp med att lösa ekvationen.

så y är= -x/3+11/2, vad blir m då?

Jag tror inte riktigt att jag förstår vad du undrar över? Vad är det för m du tänker på?

svaret är alltså

y=-x/3+11/2

Ja, både y = -x/3 + 11/2 och x = 3/2 fungerar, som jag skrev i mitt inlägg.

Eftersom jag inte orkar göra det själv så gjorde WA det åt mig efter lite bök och bäk. Försökte även lösa ekvationen samtidigt men då krånglade WA.

Jag förenklade lite grand innan jag skrev in i WA. Men det är samma integraler som i uppgiften alltså.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%ABk*%28x-3%2F2%29%2B2+dx+from+9%2F2+to+%283%2F2-2%2Fk%29%2B%E2%88%ABk*%28x-3%2F2%29%2B2x%2 F3-1+dx+from+3%2F2+to+9%2F2

Sätt nu detta lika med 3. Lös den ekvationen den och du har k-värdet.

Sedan innan vet vi att:

m = 5-3k/2

När du då har k, så kan du beräkna m genom det jag skrev ovan. Då vet vi alltså både m och k-värde till funktionen h och uppgiften är löst... om det är rätt...

Nu vill du ju också veta om hela skiten är rätt eller hur? Men jag har redan kollat det, och det stämmer, arean är 3. I vilket fall så bör du då rita upp dina tre linjer på något sätt. Sedan bör du fundera på hur du kan räkna ut arean på triangeln (du kmr inte behöva använda integraler nu, räcker med arean av triangel). Kolla hur stor basen är och hur stor höjden är. Tänk att höjden är skillnad i y-värden för givna punkter och basen är skillnaden i x-värden för givna punkter.

När du har basen och höjden kan du beräkna arean för triangeln. Får du då svaret 3 så kan du vara rätt glad.

Hoppas att jag var till stor hjälp! =)

Mvh BengtZz

Mycket smartare och enklare lösning. Kanske lite mindre generaliserbar men det löser ju problemet utmärkt.