Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
Jo jo, men vad är V och I i det specifika resultatet? En vettig kursbok skulle formulera sig som "let k be algebr. closed, V=... and I=..., then..."
Både V och I är alltså funktioner. Jag definierar funktionen V genom att säga vad dess output är om man ger den som input ett visst ideal J, nämligen
V(J) = {x ∈ k^n : f(x) = 0 för alla f ∈ J}.
På så sätt definierar jag en funktion V: {delmängder av k[x1,...,xn]} -> {varieteter i k^n}. På samma sätt kan jag definiera I:{delmängder av k^n} -> {ideal i k[x1,...,xn]} genom
I(Y) = {f ∈ k[x1, ..., xn] : f(x) = 0 för alla x ∈ Y}.
Satsen säger att V och I är varandras tvåsidiga inverser, om man begränsar deras definitionsmängder på lämpligt sätt.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
En annan fråga:
Consider A = k[x,y]/(xy) and S={1,x,x^2,...}. Then S^-1 A = k[x,x^-1]; note that F(A)=k[x] ⊂ k[x,x^-1]." (F är avbildningen a till a/1 från A till S^-1 A)
Förstår inte detta för jag förstår inte hur elementen i A ser ut. (xy) = multipler av xy. Vart hamnar t.ex 1, 1+x^2, x+y när man kvotar med (xy)?
Det blir ju bara ju bara sidoklasserna 1 + (xy), 1 + x² + (xy), x + y + (xy).
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
Sen förstår jag inte hur bilden av F kan vara k[x], alltså "lika med" - möjligen isomorfa?
Du har nog rätt, men i algebran så brukar man vara ganska slarvig med att skilja på isomorfi och identitet, i alla fall när isomorfin är naturlig. I det här fallet så tycker jag meningen "Then S^-1 A = k[x,x^-1];" implicit säger "låt oss hädanefter betrakta S^-1 A och k[x, x^-1] som identiska, genom den uppenbara isomorfin som tar (x + (xy) )/ (1 + (xy)) i S^-1 A till elementet x i k[x, x^-1], och som dessutom är en homomorfi av k-algebror."
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
F(A) innehåller ju ekvivalensklasser medan k[x] innehåller polynom, de kan inte vara "lika", eller?
Jo precis, men om man som ovan redan bestämmer sig för att identifiera S^-1 A med k[x, x^-1], så kommer F(A) vara en delmängd av S^-1 A, dvs en delmängd av k[x, x^-1], och då skulle de kunna vara polynom.
