*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Nedan följer några regler. Använd dem och du fixar nog uppgiften själv.

x^a * x^b = x^(a+b)
x^a / x^b = x^(a-b)
(x^a)^b = x^(a*b)

problem:

bestäm x så att
sin(x)+sqrt(3)cos(x) = 1

lösning

Nu har jag kört fast jävligt hårt, har tittat på diverse filmer på nätet där de löser liknande "typtal" men det har hjäpt föga.

I alla fall, uppgiften är: Lös ekvationen z^3 = -8i. Svara på formen a+ib.

Hjälp uppskattas.

Inspektion ger z = 2i.

EDIT:
Men det är inte alla lösningar

z^3 = (a+bi)^3 = (a^2 + 2abi - b^2)(a+bi) = a^3 + 2a^2bi - ab^2 + a^2bi - 2ab^2 - b^3i
= a^3 -3ab^2 + 3a^2bi - b^3i = -8i

a^3 -3ab^2 = 0 (I) [realdelen]

3a^2b - b^3 = - 8 (II) [imaginärdelen]

(I) -> a^2 = 3b^2 ins i (II)

9b^3 - b^3 = - 8 ->

b = - 1 ->

a = +/-sqrt(3)

Alltså två lösningar till: z = (+/-sqrt(3) - i)

Börja med att skriv om på polär form, lösningen blir sedan tämligen enkel med hjälp av De Moivres formel. Att sedan gå tillbaka till rektangulär form, alltså a+bi kan vara lite knepigt dock. Polär form kan vi skriva med hjälp av exponentialfunktionen eller med sinus och cosinus.

w är ett komplext tal.

Då gäller:

w = |w|[cos(arg(w))+i·sin(arg(w))]

För att skriva om w på en sådan form måste vi alltså ta reda på arg(w) och |w|.

Argumentet:

arg(z³) = arg(-8i) = 3π/2

Eftersom talet ligger direkt på den negativa imaginäraxeln kan vi direkt se att argumentet är 3π/2. 90 grader är ju π/2, vi skall ju gå tre stycken π/2 för att komma till negativa imaginäraxeln, därav 3π/2.

Lite kuriosa men onödigt:
Vi vet att när man multiplicerar komplexa tal så adderar man deras argument. Då gäller följande.

arg(z³) = 3arg(z) = 3π/2 ⇔
arg(z) = π/2

Notera att detta är bara ett av argumenten, men men. Det om det! Nu skall vi ta reda på beloppet, men det ser vi direkt att beloppet är 8.

z³ = |z³|[cos(arg(z³))+i·sin(arg(z³))] ⇔
z³ = 8[cos(3π/2+2πk)+i·sin(3π/2+2πk)] ⇔

Men vi vill ju inte veta vad z³ är, det vet vi redan! Vi vill veta vad z är. Alltså upphöjer vi båda led till en tredjedel för att ta ut upphöjt till 3.

z = 2[cos(3π/2+2πk)+i·sin(3π/2+2πk)]^(1/3) ⇔
z = 2[cos(π/2+2πk/3)+i·sin(π/2+2πk/3)]

Det var här jag använde De Moivre. Den säger att om vi upphöjer hela delen med de trigonometriska bitarna till en tredjedel så är det samma som att dividera de trigonometriska funktionernas argument med 3. Därav delade jag allt i cosinus och sinus argument med 3. Nu får vi våra lösningar genom att sätta k = 0, 1 och 2. Dessa är våra tre lösningar!

Lösningarna:

z₀ = 2[cos(π/2)+i·sin(π/2)]
z₁ = 2[cos(π/2+2π/3)+i·sin(π/2+2π/3)]
z₂ = 2[cos(π/2+4π/3)+i·sin(π/2+4π/3)]

Nu kan du öva lite att skriva detta på rektangulär form, alltså formen a+bi. God kännedom om enhetscirkeln är bra att ha här.

Mvh BengtZz

Tack.

Skriv om den som:

7y = -4x + 9

y = (-4x/7) + (9/7)

Använd avståndsformeln d² = (x_2 - x_1)² + (y_2 - y_1)²

Du skall komma närmst punkten (0,0), det ger i avståndsformeln:

d² = (x_2 - 0)² + (y_2 - 0)²

d = √(x² + y²)

Använd att y = (-4x/7) + (9/7) och sätt in i d = √(x² + y²). Skippar algebran, orkar inte skriva allt. Fråga om du inte förstår vad som hände.

d = 65x / (7 · √(65x² + 81))

Derivera och sätt till 0, eftersom bara täljaren behöver vara 0 för att hela uttrycket ska bli 0 så gör vi:

d' = 0 => 65x = 0 => x = 0

Sätter in x = 0 i ursprungsekvationen och får att:

y = 9 / 7

Närmsta punkt till origo: (0, (9/7))

Vet dock inte hur man skall fortsätta, tyvärr.

(om någon tänkte fortsätta hjälpa honom på min lösning så får ni gärna kolla igenom matten, kan ha slarvat/gjort fel)

Kom på en annan lösning nu men den är inte direkt lika "snygg".

Du skulle ju kunna plotta linjen och sen se för vilka heltal x även ger ett heltal på y och sen ta de två närmsta och slänga in i avståndsformeln och se vilken som är närmst.

dubbel..

posten adresseras till den som eventuellt är intresserad, dvs inte till någon speciell användare


En elegant lösning av otrolig
Vill bara belysa ett steg som otrolig gör, ett steg som underförstås och därför kanske inte är uppenbart

delsteg 1:

allmänt:
0< a < 1
=> a^2 < a

speciellt:
sätt a = cos²x, så fås
0 < cos²x < 1 => cos⁴x<cos²x
sätt a = sin²x, så fås
0 < sin²x < 1 => sin⁴x<sin²x

delsteg 2:

allmänt:
a<A och b<B
=> a+b < A+B

speciellt:
cos⁴x<cos²x och sin⁴x<sin²x
=> cos⁴x + sin⁴x < cos²x + sin²x

sammansatt steg:

0 < cos²x < 1 och 0 < sin²x < 1
=> cos⁴x<cos²x och sin⁴x<sin²x
=> cos⁴x + sin⁴x < cos²x + sin²x

Ska uttrycka z'_x och z'_y med hjälp av z'_u och z'_v (och ev. x och y) om
u=x+y
v=xy

Blir det nåt i stil med z(u(x,y))=?

Ja så blir det. Eftersom u beror av både x och y. Tänk på kedjeregeln, men det kan du säkert redan.

Ja tänkte mig

∂z/∂u=(∂z/∂x)*(∂x/∂u)+(∂z/∂y)*(∂y/∂u)
z'_u=z'_x*(∂x/∂u)+z'_y*(∂y/∂u)
flyttar över lite och får
z'_x=(∂u/∂x)*z'_u - z'_y*(∂y/∂x)
(∂u/∂x)=1 och på något sätt ska alltså -z'_y(∂y/∂x)=y*z'_v och det är det sista jag inte riktigt ser..
ska jag använda mig av y=v/x från den andra och derivera denna m.a.p x och få (∂y/∂x)=-v/x²?

Edit: nog snurrat ihop det här lite..