Är oändligheten större än oändligheten?

Lite avslappnad helgläsning som berör ämnet, kanske?
"The mystery of the Aleph"; Aczel.

Ja, det finns olika stora oändligheter. Kolla upp kardinalitet.
https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Kardinalitet

Lite kort: Två mängder A och B har samma kardinalitet om varje element a i A kan paras ihop med varsitt element b i B utan att det blir något över varken i A eller B. Ungefär som om A är mängden av alla pojkar och B är mängden av alla flickor, och alla lyckas hitta varsin partner, pojke + flicka. Grejen är nu att denna definition även funkar bra om mängderna är oändliga -- med en del överraskands resultat. T ex har mängden av naturliga tal {0,1,2,3,...} samma kardinalitet som mängden av alla heltal {...-3,-2,-1,0,1,2,3...} därför att talen i dessa mängder kan paras ihop t ex så här:
med naturliga tal till vänster och heltal till höger. På liknande sätt kan man para ihop alla naturliga tal med alla jämna tal: para ihop varje naturligt tal n med det jämna tal som är dubbelt så stort, 2n.

Dvs mängderna av naturliga tal, heltal, och jämna tal, etc, har samma kardinalitet, och är alltså lika stora oändligheter.

Men det finns större oändligheter, som t ex mängden av alla reella tal (som t ex pi), som inte kan paras ihop, ett till ett, med mängden av naturliga tal.

Överraskande kanske men egenskapen att vara numeriskt ekvivalent med en delmängd av sig själv är väl något av ett karaktäristiskt drag för oändlighet? Vågar inte på stående fot säga att det definierar oändlighet men det kan kanske vara något att fundera på.

Att man kan definiera storleken på mängder så att vissa oändliga mängder anses större än andra medför väl inte att det finns olika oändliga värden?

Exempelvis kan alla positivt oändliga värden representeras med bitmönstret 01111111100000000000000000000000 enligt IEEE-754 och alla negativa oändliga värden kan representeras med bitmönstret 11111111100000000000000000000000.

Att det finns distinkta representationer motsäger väl att det skulle finnas mer än ett positivt och ett negativ oändligt värde?

Cantors diagonalargument visar ju att du alltid kan konstruera ett nytt reellt tal som inte finns i en oändlig lista av tal:

https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument

Alltså är de reella talen fler än de naturliga talen trots att båda listorna är "oändliga".

Hur man representerar oändligheten i olika sammanhang, och om man då gör skillnad på olika kardinaltal, är en helt annan fråga.

Cantors diagnonalargument visar att det finns en procedur med en viss egenskap som inte alla procedurer har. Procedurer kan alltså delas in i procedurer som har egenskapen och procedurer som inte har egenskapen. Den medför inte per automatik att oändliga värden kan delas in i klasser med olika egenskaper.

Vad ni än kommer fram till, matematiskt såväl som filosofiskt, så kan ni vara helt säkra på att oändligheten är oändligt mycket större en den oändlighet vi tror vi kan förstå.
Det är det gamla vanliga.
Om du har oändligheten och så lägger du till 1, vad har du då? Jo oändligheten fortfarande.

Det finns en likhet mellan atomers uppbyggnad och universums uppbyggnad så antagligen är vi bara ett steg i en oändlighet som både sträcker sig oändligt ner i de minsta beståndsdelarna som ju måste bestå av något vad en forskarna tror när dom hittat en partikel som är så liten att den bara består av sig själv, dvs universums grundsten, skulle inte tro det.

Sen finns det en oändlighet runt oss där vi är en oändligt liten del av något som bara expanderar och blir större i sina bestånds delar.
Typ att vårt universum bara är en liten del av en atom i en varelse som är så stor att vi inte ens ser atom en bredvid oss för den är så långt borta att våra tekniska framsteg inte ens kan skymta det avståndet.

Det är ett argument som bygger på proceduren. Du kan alltid konstruera fler reella tal. Alltså är de fler än de naturliga. Olika egenskaper är det förvisso i den meningen att kardinaltalen är olika.

Men den naturliga talserien är ju oändlig, det finns inget största tal. Hur kan de reella talen bevisas vara fler med ett sånt simpelt trick och vad innebär det att alltid kunna konstruera fler reella tal med proceduren? Är en sån konstruktions-procedur inte lika platonskt färdig och klar som talens olika mängd-extensioner antas vara? Oändlighet finns bara som potentialitet.

Behöver jag konstruera talet 7 för att det skall existera eller existerar det enbart genom att jag definierat alla naturliga tal genom samma definition? Helt klart är att talet 7 är en historiefri entitet i den meningen att det inte finns någon skillnad på talet 7 som resultat av 6+1 eller talet 7 som resultat av 8-1. Mängden av naturliga tal beror inte på hur jag skapat de naturliga talen utan enbart på hur naturliga tal är definierade.

Att mängder går att skapa genom olika procedurer säger något om vilka procedurer som går att formulera (utan att behöva vara realiserbara), men det säger faktiskt inget om mängdernas innehåll. Oändliga mängders kardinalitet är ett roligt fenomen som nummermystiker säkert roas av, men något mått på oändliga mängders storlek ser jag inte att det skulle vara.

Att divergenta procedurer leder till konstigheter är knappast något okänt fenomen, med Hillberts hotell som vanligt exempel. Med divergent menar jag här att arbetet som skall utföras i varje iteration inte minskar snabbt nog när antalet iterationer går mot oändligheten. Divergenta summor är ett specialfall av sådana procedurer.

De flesta matematiker accepterar Cantors argument även om det fanns de som var skeptiska när det först publicerades. Att visa hur något kan konstrueras är en ganska stark typ av bevis.

Huruvida matematiken är platonsk är en annan fråga. Själv anser jag att den i viss mening är det. Det är en absurd ståndpunkt att Fermats stora sats inte blev sann förrän den bevisades 1994 av Andrew Wiles.

Att tal kan definieras på olika sätt gör dem inte ambivalenta. De rationella talen definieras som ekvivalensklasser, men ingen skulle hävda att 1/2 och 2/4 inte är samma tal.


Skillnaden mellan de rationella och reella talen är inte oväsentlig. Tvärtom så är den av fundamental betydelse inom matematiken.


Diagonalargumentet är inte konstigt även om det handlar om oändliga listor på tal. Metoden för hur du konstruerar ett nytt tal som inte finns på listan, vare sig den är ändlig eller oändlig, är glasklar.