Är oändligheten större än oändligheten?

Det här är ju ungefär fel. Säg att jag tar funktionen i->i från N till R så ger cantors argument direkt ett explicit exempel. Det är ju bara när de påstådda funktionerna är ”fluffiga” som inget specifikt kommer ut. Men det verkar ju i alla fall delvis bero på fluffigheten i någon vagt definierad funktion.

Hillberts hotell visar ju att en bijektion från N till N är precis lika trasig. Eftersom vi kunde trycka in en gäst till i det fulla hotellet så fanns det ju uppenbarligen något rum som inte hade någon gäst i den bijektion som var påstått fullständig innan den nya gästen tillkom. Genom att bijektionen från N till N är deklarerad som en statisk funktion så ger det en illusion av en fullständig bijektion, men eftersom bijektionen bara är möjlig genom att du inte behöver realisera den så är den ett hjärnspöke enligt mig. Hade funktionen varit fullständig utrullad över alla element så hade det inte gått trycka in en gäst till i Hillberts hotell. Skillnaden mellan en statisk funktion som skall appliceras på ett oändligt antal element och en statisk procedur som skall exekvera ett oändlig antal varv handlar bara om vilket språk vi väljer att uttrycka oss med.

Oklart vad du menar med trasig. Cantors argument visar att det inte finns bijektioner mellan N och R. Hotellet visar att det är något konstigt med vissa funktioner mellan N och N. Trasigheten är upp till betraktaren men det verkar vara olika saker. Dina exempel på funktioner till R faller för att de är för fluffiga, problemet är inte att man inte kan ge något specifikt tal som dyker upp det är att du inte ger något sätt att ge några specifika tal. Det är kärnan av det Cantor säger om reella tal. Ger du en tillräckligt specifik formel så ger han ett motexempel.

Hur ställer du dig till en funktion f:R -> R med definitionsmängden (0,1) definierad av x + 1 avseende 'realiserbarhet'. Är den trasig?

Om du syftar på en ändlig mängd med två element så är bijektionen inte trasig enligt min uppfattning. Jag kan inte trycka in en gäst till i ett hotell med två rum om det redan finns två gäster.

Men du menade kanske något annat?

Jag är medveten om den skillnaden. Givet vissa regler så uppfyller en del bijektioner reglerna och andra gör det inte. Ståndpunkten jag försöker försvara är dock att regler som är godtyckligt valda inte per automatik leder till bijektioner som säger något om oändliga mängders storlek. Att man genom att välja två olika "godkända" bijektioner kan visa att Hillberts hotell både är fullt och har ett rum ledigt talar emot att bijektioner säger något om oändliga mängders storlek.

Jag argumenterar alltså inte för att N och R är lika stora, utan för att deras storlekar inte är jämförbara.

Ja, det gäller att förstå begreppets såväl matematiska som lingvistiska innebörd. Inom matematiken så avses verkligen något utan slut, medan i linvistiken så är betydelsemängden snävare.

Ja, jag menade det öppna intervallet 0 < x < 1.

Nej, jag ser inte att funktionen är trasig per se. Vad skall du använda den till?

Svårt att förstå vad du i så fall menar med att Hotellet är lika trasigt.



Som jag hintade några inlägg tidigare så tror jag också problemet har med det här storleksbegreppet. Ingen verkar väll egentligen försvara någon "faktisk storlek" som du pratade om tidigare. Fem myror är fler än fyra elefanter, fast elefanterna har större massa. Oändliga mängder är konstiga och himlen är blå.


Vet inte fall det handlar om "godkända" bijektioner eller inte. Det är väll vad folk är vana med. Dina loopar och hänvisningar till slump är inte helt lätta att förstå. För mig känns det som att det bara blir magi. Vad kan jag inte trolla fram med en oändlig loop och hänvisning till slump? Det verkar ju inte vara samma saker som "vanlig" matematik.

Men menar du att det finns något som storlek som inte är kardinalitet?

Min ståndpunkt är att storleken av en oändlig mängd inte har någon annan egenskap än att vara större än alla ändliga mängders storlek. Storleken av mängden N är varken större, mindre eller lika stor som storleken av mängden N.

Kardinalitet och storlek sammanfaller för ändliga mängder, men eftersom man valt att definiera kardinalitet för oändliga mängder på ett sätt som jag inte finner meningsfull som definition av oändliga mängders storlek, så betraktar jag kardinalitet och storlek som skilda begrepp.

Jag har ett svagt minne att den här diskussionen började med att någon hävdade att det fanns olika stora oändligheter och att jag svarade något i stil med att det bara var oändliga mängders kardinalitet som kunde vara olika stora. För mig representerar inte oändligheten ett tal som kan jämföras med andra oändliga tal.