Är oändligheten större än oändligheten?

I vilken utsträckning skulle matematiken se annorlunda ut om Cantors argument inte gällde? Vad utanför läran om oändliga mängders kardinalitet beror på oändliga mängders kardinalitet?

Sen finns alltid frågan om det finns en oändlighet som ligger mellan den för heltalen och de reella talen, något matematiker fortfarande inte är eniga om, eller ens om frågan kan avgöras.
https://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis

Undrar du hur matematiken skulle se ut om Q och R hade samma kardinalitet eller är frågan vad mer vi inte skulle veta om vi inte visste att så inte är fallet?

Någon (Cantor?) har lyckats med bedriften att definiera ett test T så att T(Q) och T(R) utfaller olika. Uppenbarligen gäller då Q≠R och alla navelskådande nummermystiker kommer sjunga unisont i sin hyllningssång över denna upptäckt. Men vad säger det mer om Q och R än att det finns ett test som utfaller olika? Säger detta test något om världen mer än att detta test är möjligt?

Det säger naturligtvis ingenting om världen, utan "bara" om matematik. Matematik är extremt användbart i många vetenskaper som beskriver många olika aspekter av världen, men matematik är inte i sig en vetenskap om världen.

Förstår nog öht inte din attityd. Du måste ju inte bry dig ett skvatt om ren matematik om du inte vill.

Min tidigare fråga gällde vilken relevans Cantors bevis har utanför Cantors bevis? Utgör beviset bara en isolerad ö inom matematiken eller behövs konceptet kardinalitet för något annat koncept inom matematiken? Hur kan oändliga mängders kardinalitet säga något om oändliga mängders storlek om inte olika delar av matematiken beror av varandra?

Kan man bry sig mer om matematiken än genom att ifrågasätta det som påstås?

Ingår integrering i mysticismen eller i världen?

Skulle världen se annorlunda ut om arean av en cirkelskiva varit en annan? Jag tror vi kan svara ja på den frågan.

Skulle världen se annorlunda ut om de reella talen inte vore fler än de naturliga? Om svaret är nej, vad innebebär det då att de reella talen är fler än de naturliga, förutom att mängderna skiljer i enumererbarhet? I vilka andra sammanhang är vi beroende av oändliga mängders enumererbarhet?

Hilbert's hotel from the point of view of computation (Joscha Bach)

Enumererbar eller inte spelar, om jag minns rätt, roll i måtteori. Har för mig att måttet är noll för en enumererbar mängd, vilket kan ställa till det i analysen. Rätta mig om jag har fel, sitter inte direkt i biblioteket…

I tidigare inlägg användes begreppet konstruktion, vilket direkt bäddar för en värdeladdad sidodiskussion om huruvida talen är konstruerade eller alltid funnits.

Enumeration är samma sak som konstruktion utan att implicera att vi skapar elementen vi räknar upp. Heltal och rationella tal kan räknas genom att följa en distinkt ordning, vilket reella tal inte kan. För att räkna upp heltal och rationella tal så räcker det med en oändlig enkelloop, för att räkna upp alla reella tal så krävs det däremot en oändlig dubbelloop.

Att fördjupa sig i dylika frågor är inte nummermystik. Nummermystik blir det när vi tillskriver tal och talmängders egenskaper en större betydelse än de faktiskt har. Tillskriver vi vissa tal egenskaper som att vara turtal, gyllene tal eller gudomliga tal baserat på numeriska sammanträffanden så är det nummermystik. Att det skulle finnas olika stora oändligheter beroende på talmängders uppräkningsbarhet gränsar också till nummermystik enligt mig.

Då undrar jag hur du tänker dig numerisk ekvivalens, eller ’lika många’, generellt? Gäller en bijektion mellan två mängder som definition på lika många bara finita mängder, eller inte alls? Om man tänker på ’uppräkningsbar’ som en bijektion till positiva heltal _och_ att Q och R är ’lika många’ så är det något som du måste välja bort.