Är oändligheten större än oändligheten?

Det är inte möjligt att konstruera en sådan funktion.

Edit: Och för att utveckla lite om varför bilden av din funktion "f(n) = "Mängden alla reella tal som innehåller siffran n" inte är överuppräknelig så beror det på att elementen i bilden inte är reella tal utan mängder av reella tal. Din värdemängd här är alltså en mängd av delmängder till R, inte själva R.

I så fall är svaret nej. Värdemängden av en funktion kan inte ha strikt större kardinalitet än definitionsmängden.

Japp, korrekt. En funktion är ju aldrig "one-to-many". Det som lurade mig med min hitte-på-funktion.

MEN, varför inte skapa sådan? Kommer tebax efter afterworken med kreativiteten på topp. Låt oss göra ny matte! https://www.youtube.com/watch?v=q7vtWB4owdE&t=0m40s

Låt f:X -> Y vara en funktion sådan att |X| = N och |f[x]| = 2^N.

För varje element y ∈ f[X] betrakta urbilden av y med avseende på f, dvs { x ∈ X | f(x) = y }. För varje y ∈ f[X] välj ett element i varje urbild och kalla det x_y.

Vi kan nu skapa en "partiell inversfunktion" g:Y -> f[X] där g(y) = x_y. Vi ser att g är uppenbart bijektiv vilket implicerar att |X| = |f[X]|, men detta motsäger våra antaganden om f och därför kan inte f existera.


Edit: Eller ja, nu läste jag lite fel i ditt citat och svarade på fel grej. Man får väl skapa one-to-many "funktioner" om man vill, men jag tror att de kommer sakna struktur som gör de intressanta att studera.

Nej de saknar inte struktur och används ofta, ett standardexempel är den komplexa logaritmen.

Just det *hick*. Nuu minns jag (i min dimma) den delen av komplex analys med branch:er http://mathworld.wolfram.com/BranchCut.html

Och Wolfram-sidan hänvisar vidare till "Multivalued Function": http://mathworld.wolfram.com/MultivaluedFunction.html

Dock sätter de, med all rättighet, citationstecken runt "funktion".

Tackar er fett Murwen och Dr-Nej för diskussion och kunskapsleverans!

Visst borde väl ändå ℝ³ klassas som "större" än ℝ², eftersom ℝ³ så att säga innehåller ℝ² "plus en massa annat"?
Jag menar, vilken tvådimensionell vektor som helst kan ju utvidgas till en tredimensionell motsvarighet, och därmed få oändligt många extra koordinater.

Även om vektorn [a, b, 0] kan anta oändligt många värden så kan ju vektorn [a, b, c] anta oändligt många fler värden, och det borde väl rent logiskt räknas som en "större oändlighet"?

Visst när man pratar om vektorrum är dimension ofta ett bättre storleksbegrepp än kardinalitet. Problemet är bara att man då inte kan jämföra storleken på saker som inte är vektorrum.

Kardinaliteten är lika för ℝ³ och ℝ² även om ℝ³ kan ses som ett oändligt antal kopior av ℝ².

Antalet naturliga tal är oändligt, men antalet heltal är fler, för då får man räkna in den negativa halvan av talaxeln. Båda är oändliga men den senare är ändå större.

Mängderna har dock samma kardinalitet.

En oändlighet kan vara stor, men en större oändlighet. Finns det? Något som är större är en annan oändlighet men är oändligheten ändå mer?