*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Det är i allmänhet vanskligt att försöka använda kedjeregeln baklänges. Undantaget är ifall integranden är en produkt av två faktorer där den ena falktorn är inre derivata till den andra.

Exempelvis kan man se att ∫2x*exp(x²)dx = exp(x²) eftersom 2x är derivata till x² och således inre derivata till exp(x²).

Hur menar du med dessa x? Det är ju odefinierat, t.ex. om asymptoten är x = 3 kommer f(3) inte vara definierat, vilket innebär att det inte finns någon derivata i den punkten heller.

Poängen är just att skissa att funktionen får en asymptot. Att man har med ett visst x-värde betyder inte att man behöver rita ut det exakta funktionsvärdet eller derivatan för just det x-värdet, utan poängen är just att skissa att funktionens värde går mot ±∞ med de implikationer som det har för derivatan.

Men om du har exempelvis en funktion f (x)= x^2/x-1 och ska skissa denna med teckentabell. Vilka värde tar du då?

Menar du att det ska vara x²/(x - 1)? I så fall så behöver du ha med x = 1 i intervallet. Det är inte i allmänhet entydigt givet exakt hur stort intervall som ska vara med runt x = 1, men det kan ju vara angivet i den specifika uppgiften. Om det inte är angivet så kan du väl som tumregel ta med det "intressanta x-värdet" ± 3 eller så.

Kan en funktion ha både vertikala, horisontella och sneda asymptoter?

`

Fast man ska väl undersöka hur derivatan beter sig runt eventuella extrempunkter?

Jag har funktionen: f(x) = (x²+1)/(x) och ska skissa denna med hjälp av asymptoter.

Vertikala asymptoter: Vi ser att f(x) inte är definierad då x = 0, då måste detta vara en vertikal asymptot.

Horisontella asymptoter: f(x) lim x→ ∞ = ∞ och f(x) lim x→-∞ = -∞. Inga asymptoter. (Varför är inte y =∞ och y = -∞ asymptoter? )

Sneda asymptoter: f(x) → x när x→ ∞, alltså är y = 1x en sned asymptot.

Jag ska nu skissa den, och behöver därför hitta eventuella extrempunkter. Deriverar och får:

f'(x) = (x²-1)/(x²)

Sätter f'(x) = 0:

(x²-1)/(x²) = 0 ger x1 = 1, x2 = -1.

Nu kommer det jag försökt fråga om, men som kanske förefallit luddigt. Vilka x-värden ska jag undersöka derivatan och funktionsvärde för? Vilka är rimliga att undersöka?

Ja, och om man då kommer fram till att även derivatan går mot ±∞ så går det ju att antyda hur det ser ut i en skiss.

Eftersom ±∞ inte är specifika tal så är det inte meningsfullt att prata om asymptoter där, bortsett från sneda asymptoter.

Du har undersökt de punkter som är intressanta, dvs där funktionen inte är definierad och där derivatan är noll. Mellan dessa x-värden kan du sedan se vilket tecken derivatan har och därmed få en grundläggande uppfattning om kurvans utseende.

Man ska alltså ha innan första extrempunkten, mellan första extrempunkten och 0, asymptoten, innan andra extrempunkten och efter andra extrempunkten?

Om det inte finns någon extrempunkt, är det då rimligt att enbart undersöka derivatan innan och efter asymptoter? Exempelvis om asymptoten är x = 2, så undersöker jag derivatan för x < 2 och för x > 2, sen markerar jag några funktionsvärden för att sedan skissa grafen.