*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

om y = tan(kx), visa att y´´ = 2k^2 y(1 + y^2)

y´ = k(sec(kx))^2

hur gör jag i nästa steg?

jag skriver om den till k * (cos(kx))^(-2)

nu deriverar jag enligt produktregeln:

1 * (cos(kx))^(-2) + k * (cos(kx))^(-3) *-2k * sin(kx)

(sec(kx))^2 -2k^2 * (sec(kx))^(2)) * tan(kx)

nu har jag ju y´´ = -2k^(2) * y(1 + y) Och det stämmer ju inte? Förklara gärna, det här var bara ett försök från min sida

Du ska ju derivera med avseende på x men när du beräknar andraderivatan så har du av misstag deriverat med avseende på k istället.

Skulle du kunna visa hur du löser uppgiften nedan?

Om f och g "twice-differentiable functions", visa att (fg)`` = f``g + 2f`g` + fg``

Du ska ju derivera med avseende på x men när du beräknar andraderivatan så har du av misstag deriverat med avseende på k istället.

Underlättar det att kunna tolka skrivsättet dY/dX?

Hur menar du att jag ska derivera från första derivatan till andra derivatan?

Nja, det blir inte egentligen lättare. Du kan använda den notation du vill.

Du har ju att förstaderivatan är f'g + fg', och då är alltså f'g en produkt av två funktioner och fg' är en annan produkt av två andra funktioner. Dessa kan du alltså derivera med hjälp av produktregeln, precis som man tar fram förstaderivatan av fg.

Jag var otydlig, jag gick från ena uppgiften till den andra. Förstod (fg) derivatan.

Men y = tankx visa att y`` = 2k^2y(1+y^2)

Förstår inte riktigt hur jag ska derivera från första derivatan till andra derivatan

OK, så du har förstaderivatan y' = k/cos²(kx) = k*(cos(x))⁻²

Då är det alltså kedjeregeln som gäller snarare än produktregeln. Den yttre funktionen är f(x) = k*x⁻² och den inre funktionen är g(x) = cos(x). Du har alltså den sammansatta funktionen y = h(x) = f(g(x)). Om du inte minns kedjeregeln, repetera här.

Jag lyckas ändå inte få till det.

första derivatan blir ju k*(cos(x))^-2

varför är den yttre funktionen k*x^-2? varför inte k*kx^-2?

Varför måste IkI < 1 för att en geometrisk summa eller en geometrisk talföljd ska kunna gå mot ett visst gränsvärde? Kalla gränsvärdet för A. Stämmer det att IkI < 1 måste gälla för både talföljden och dess summa?


Mitt resonemang:
s = lim n → ∞ a1(k^(n) - 1)/(k-1) och lim n → ∞ a1k^(n-1) = A ska existera.

Om k = 1 blir summan konstant, det vill säga kan inte gå mot ett visst gränsvärde.

Om k > 1 går summan mot +∞ och kan inte gå mot ett visst gränsvärde.

Om k ≤ 1 går summan mot -∞ och kan inte gå mot ett visst gränsvärde.

Är IkI < 1 det enda kravet som finns för att en summa/talföljd ska kunna gå mot ett visst värde eller vad handlar det egentligen om?

Jag skrev visst lite fel. Förstaderivatan är y' = k/cos²(kx) = k*(cos(kx))⁻². Den yttre funktionen är alltså f(x) = k*x⁻² (eftersom du har en inre funktion som upphöjs till -2) och den inre funktionen är g(x) = cos(kx).

Det blir inte k*(kx)⁻² eftersom du inte har k multiplicerat med cosinusfunktionen i nämnaren. Hade förstaderivatan varit k*(k*cos(kx))⁻² så hade den yttre funktionen varit k*(kx)⁻², men det är ju inte det förstaderivatan är.