Citat:
Ursprungligen postat av
klas.svensson
Kan du ge mig en förklaring varför man ska räkna ut den på det sättet? Jag kan verkligen inte förstå det.
jag har kollat t.ex på:
y = 2^x
y´ = D(2^x)
y´ = 2^x * ln(2)
y´ = 2^x * 0,69. Den stämmer överens med facit.
och nu har vi ju y = e^x*ln(x) <---- x*ln(x) allt det är upphöjt i e. (vilket jag skriver om till x^x)
y = x^x Nu har jag samma läge som i exemplet med 2^x
y´ = D(x^x)
y´ = x^x * ln(x)
sedan skulle man bestämma f´(2)
f´(2) = 2^2 * ln(2)
Varför blir det fel? varför skiljer det sig för att det är ett x istället för en siffra?
Jag försöker förklara på ett annat sätt.
f(x) = e^g(x) har derivatan (e^g(x))*g'(x)
Derivatan av e^ en funktion g(x) är den ursprungliga funktionen multiplicerad med derivatan av g(x).
Detta följer av kedjeregeln.
Ex: 7^x = e^(ln7 * x) , det verkar vi vara eniga om
g(x) = ln7 * x, g'(x) = ln7, även eniga om detta
f'(x) = (7^x) * ln7
Ex: f(x) = x^x = (e^lnx)^x = e^(x*lnx), det är vi också överens om
Vi kan då skriva f(x)=e^g(x), där g(x) = x*lnx
g'(x) = 1*lnx + x * (1/x) = 1 + lnx , enligt produktregeln D(fg)=f'g+fg'
g'(x) benämns inre derivata
f'(x) = (x^x)* g'(x) = x^x * (1 + lnx)
f'(2) = (1 + ln2)* 2^2 = 4 + 4ln2 = 4 + ln16 = 6.7725....
Bättre kan jag nog inte förklara...